Соотношение сторон прямоугольного треугольника 7:24. Если радиусы окружностей, нарисованных снаружи и внутри этого треугольника, равны 19 см, найдите наименьший катет данного треугольника.
Из посёлка в город идёт автобус, и каждые 6 минут он встречает автобус, который идёт из города в посёлок, и скорость которого в 1,5 раза больше. Сколько автобусов в час приходит из города в посёлок?
надо найти, как часто встречался бы встречный автобус, если этот автобус затормозил
наша скорость х
скорость встречного 1,5х
общая скорость 2,5х
при общей скорости 2,5х интервал времени 6 минут: L=2,5х*6
если наш автобус встал, то общая скорость равна скорости встречного 1,5х
при общей скорости 1,5х интервал времени = L/1,5x=2,5х*6/1,5x=10 минут
значит и в поселок автобус приходит каждые 10 минут, то есть 60мин/10мин = 6 автобусов в час
Дана функция f(x)=2+9x+3x^2-x^3 Найти : 1. критические точки функции ; 2. экстремума функции .
1. f(x)= - x³ + 3x² + 9x +2 * * * ООФ : x ∈ R * * * Критическая точка функции , эта точка в которой ее производная равна нулю или не существует . Здесь функция непрерывная и имеет производную в любой точке (многочлен 3-й степени с вещественными коэффициентами ) . --- f ' (x) = (-x³ + 3x² + 9x +2 ) ' = (-x³) ' + (3x²) ' +( 9x ) ' +(2) ' = (-x³) ' + (3x²) ' +( 9x ) ' +(2) ' = -3x² +3*(x²) ' +9*(x) ' + 0 = - 3x² +3*2x +9*1 = - 3(x² -2x -3) = - 3 (x+1)(x - 3). * * * x² -2x -3= x² -2x -3 =(x² + x) - (3x +3) =x(x + 1) - 3(x +1) =(x+1)(x-3) * * * f ' (x) =0 ; -3(x+1)(x-3) =0 ; * * * [ x+1 =0 ; x-3 =0 * * * x₁ = -1 ; x₂ = 3 . Следовательно критические точки функции : - 1 и 3.
2. Если производная функции в критической точке a) меняет знак с отрицательного на положительный, то это точка локального минимума ; b) меняет знак с положительного на отрицательный, то это точка локального максимума ; c) не меняет знак, то в этой точке нет экстремума.
f ' (x) = - 3 (x+1)(x-3)
f ' (x) " - " " + " " - " (-1) ( 3) f(x) убывает (↓) min возрастает(↑) max убывает (↓)
(точками экстремума : x = -1 ; x = 3) x = -1 является точкой минимума x = 3 _точкой максимума
Задание № 7:
Из посёлка в город идёт автобус, и каждые 6 минут он встречает автобус, который идёт из города в посёлок, и скорость которого в 1,5 раза больше. Сколько автобусов в час приходит из города в посёлок?
надо найти, как часто встречался бы встречный автобус, если этот автобус затормозил
наша скорость х
скорость встречного 1,5х
общая скорость 2,5х
при общей скорости 2,5х интервал времени 6 минут: L=2,5х*6
если наш автобус встал, то общая скорость равна скорости встречного 1,5х
при общей скорости 1,5х интервал времени = L/1,5x=2,5х*6/1,5x=10 минут
значит и в поселок автобус приходит каждые 10 минут, то есть 60мин/10мин = 6 автобусов в час
ответ: 6
Найти :
1. критические точки функции ;
2. экстремума функции .
1.
f(x)= - x³ + 3x² + 9x +2 * * * ООФ : x ∈ R * * *
Критическая точка функции , эта точка в которой ее производная равна нулю или не существует . Здесь функция непрерывная и имеет производную в любой точке (многочлен 3-й степени с вещественными коэффициентами ) .
---
f ' (x) = (-x³ + 3x² + 9x +2 ) ' = (-x³) ' + (3x²) ' +( 9x ) ' +(2) ' =
(-x³) ' + (3x²) ' +( 9x ) ' +(2) ' = -3x² +3*(x²) ' +9*(x) ' + 0 =
- 3x² +3*2x +9*1 = - 3(x² -2x -3) = - 3 (x+1)(x - 3).
* * * x² -2x -3= x² -2x -3 =(x² + x) - (3x +3) =x(x + 1) - 3(x +1) =(x+1)(x-3) * * *
f ' (x) =0 ;
-3(x+1)(x-3) =0 ; * * * [ x+1 =0 ; x-3 =0 * * *
x₁ = -1 ;
x₂ = 3 .
Следовательно критические точки функции : - 1 и 3.
2.
Если производная функции в критической точке
a) меняет знак с отрицательного на положительный, то это точка локального минимума ;
b) меняет знак с положительного на отрицательный, то это точка локального максимума ;
c) не меняет знак, то в этой точке нет экстремума.
f ' (x) = - 3 (x+1)(x-3)
f ' (x) " - " " + " " - "
(-1) ( 3)
f(x) убывает (↓) min возрастает(↑) max убывает (↓)
(точками экстремума : x = -1 ; x = 3)
x = -1 является точкой минимума
x = 3 _точкой максимума
f(-1) = -(-1)³ + 3*(-1)² + 9*(-1) +2 =1 +3 -9+2 = - 3 ;
f(3) = -3³ +3*3² +9*3 +2 = -27+27 +27 +2 =29 .
(экстремумами функции : -3 и 29 .)
min ( f(x) ) = f(-1) = - 3 ;
max( f(x) ) = f(3) = 29 .
Удачи !