В общем случае область определения арксинуса располагается на отрезке [-1; 1]. Нам надо определить наибольшее и наименьшее значение указанной функции на нем.
y' = (arcsin x)'=
1
√
1-x2
Мы знаем, что производная функции будет положительной для всех значений x, расположенных в интервале [-1; 1], то есть на протяжении всей области определения функция арксинуса будет возрастать. Значит, самое маленькое значение она примет при x, равном -1, а самое большое – при x, равном 1.
minx∈[-1; 1]arcsin x=arcsin(-1)=-
π
2
maxx∈[-1; 1]arcsin x=arcsin 1=
π
2
Таким образом, область значений функции арксинус будет равна E(arcsin x)=[-
Пример 1
Условие: найдите область значений y = arcsin x.
Решение
В общем случае область определения арксинуса располагается на отрезке [-1; 1]. Нам надо определить наибольшее и наименьшее значение указанной функции на нем.
y' = (arcsin x)'=
1
√
1-x2
Мы знаем, что производная функции будет положительной для всех значений x, расположенных в интервале [-1; 1], то есть на протяжении всей области определения функция арксинуса будет возрастать. Значит, самое маленькое значение она примет при x, равном -1, а самое большое – при x, равном 1.
minx∈[-1; 1]arcsin x=arcsin(-1)=-
π
2
maxx∈[-1; 1]arcsin x=arcsin 1=
π
2
Таким образом, область значений функции арксинус будет равна E(arcsin x)=[-
π
2
;
π
2
].
ответ: E(arcsin x)=[-
π
2
;
π
2
(2x -3a)² =(x+a)² ;
2x -3a = ±(x+a) ;
1. 2x -3a = - (x+a) ⇒ x = 2a/3.
2. 2x -3a = +(x+a) ⇒ x = 4a.
ответ : { 2a/3 ; 4a } .
* * * или * * *
(2x -3a)² =(x+a)² ⇔(2x -3a)² - (x+a)² = 0 ⇔(2x -3a - x - a )*(2x -3a + x+a) = 0 ⇔ (x -4a)*(3x -2a ) = 0 ⇔ [ x -4a =0 ; 3x -2a = 0 . ⇔ [ x=4a ; x = 2a/3 .
* * * или * * *
(2x -3a)² =(x+a)² ;
4x² - 12ax +9a² = x²+2ax +a² ;
3x² - 14ax +8a² = 0 ;
D =(14a)² -4*3*8a² =196a² - 96a² =100a² =(10a)²
* * * D/4 =(7a)² -3*8a² =49a² -24a² =(25a² =(5a)² * * *
x₁ =(14a -10a)/2*3 = 4a/6 =2a/3 ; * * * x₁= (7a -5a)/3 =2a/3 * * *
x₂ =(14a +10a)/2*3 = 24a/6 =4a. * * * x₂= (7a +5a)/3 =4a * * *