1) Вспомним, что такое модуль |x| = x при х≥ 0 |x| = -x при х<0 2)Ищем корни выражения, стоящего под знаком модуля х² - х - 3 = 0 по т. Виета х= 1 +- √12= 1 +- 2√3 3) уравнение запишем: |x² -x -3| = -1-х Понятно, что -1 -х ≥ 0⇒ -х ≥ 1⇒ х ≤ -1 вывод: наше уравнение надо рассматривать на промежутке х ≤ -1 4) посмотрим какая картина на числовой прямой -∞ 1 - 2√3 -1 1 + 2√3 +∞ Это промежуток, на котором уравнение имеет смысл промежуток, где х² - х - 3 ≥0 это промежуток, где х² - х - 3 ≤ 0 5) Рассматриваем уравнение на участке (-∞;1 - 2√3] и на участке [1 - 2√3; -1] 6)a)(-∞;1 - 2√3] x² - x - 3 = -1 - x x²= 2 x = +-√2( в указанный промежуток не попали) б)[1 - 2√3; 1] -x² + x + 3 = - 1 - x -x² + 2x +4 = 0 x² - 2x - 4 = 0 х = 1 +-√1 + 4= 1 +- √5 из этих двух корней в указанный промежуток попал х = 1 - √5 7)ответ: х = 1 - √5
f(x)= 2x+3 ∛x² Найдите: а) Критические точки функции f(x) на отрезке [-8;1] б) Наибольшее и наименьшее значение функции f(x) на отрезке [-8;1] --- a) Критическая точка функции это значение аргумента при котором производная функции равно нулю или не существует. f'(x) = 2 +3*(2/3) x ^(-1/3) =2 +2/∛x =2(∛x +1) / ∛x f'(x) =0 ⇔ ∛x +1 = 0 ⇔∛x = -1 ⇒ x = -1 и ∛x = 0 ⇒ x = 0 , где производная функции не существует. * * * -1 и 0 ∈ [ -8 ;1] . * * * ответ : -1 ; 0 . б) f'(x) + - + [-1 ] 0 f(x) (возр) ↑ max (убыв) ↓ min (возр) ↑
max f(x) =f(-1) =2*(-1) +3∛(-1)² = -2+3 =1. min f(x) = f(0) =2*(0) +3∛(0)² = 0. ответ : 1 ; 0 .
3) Найдите наибольшее и наименьшее значение функции f(x) =x^5+ 2x^3+3x-11 на отрезке [-1;1] --- f ' (x) =(x⁵ + 2x³ +3x - 11 ) ' =5x⁴+6x² +3 >0 функция возрастающая при всех x ∈( -∞ : ∞) . min f(x) = f(-1) =(-1)⁵ + 2*(-1)³ +3*(-1) - 11 = -1 -2 -3 -11 = -17. max f(x) = f(1) =1⁵ + 2*1³ +3*1 - 11 = - 5. ответ : -17 ; - 5 .
4) Дана функция f(x) = x^3+3x^2+3x+a. Найдите значение параметра а, при котором наименьшее значение функции f(x) на отрезке [-2;1] равно 6.
f(x) = x³+3x²+3x+a ; f '(x) = 3x²+6x+3 =3(x² +2x+1) =3(x+1)² ≥ 0 →функция везде возрастает min f(x) = f(-2) = (-2)³ +3*(-2)² +3*(-2) +a = -8 +12 -6 +a = a - 4 . По условию min f(x) = 6 a - 4 =6 ⇔a =4+6
|x| = x при х≥ 0
|x| = -x при х<0
2)Ищем корни выражения, стоящего под знаком модуля
х² - х - 3 = 0
по т. Виета х= 1 +- √12= 1 +- 2√3
3) уравнение запишем: |x² -x -3| = -1-х
Понятно, что -1 -х ≥ 0⇒ -х ≥ 1⇒ х ≤ -1
вывод: наше уравнение надо рассматривать на промежутке х ≤ -1
4) посмотрим какая картина на числовой прямой
-∞ 1 - 2√3 -1 1 + 2√3 +∞
Это промежуток, на котором уравнение имеет смысл
промежуток, где
х² - х - 3 ≥0
это промежуток,
где х² - х - 3 ≤ 0
5) Рассматриваем уравнение на участке (-∞;1 - 2√3] и на участке [1 - 2√3; -1]
6)a)(-∞;1 - 2√3]
x² - x - 3 = -1 - x
x²= 2
x = +-√2( в указанный промежуток не попали)
б)[1 - 2√3; 1]
-x² + x + 3 = - 1 - x
-x² + 2x +4 = 0
x² - 2x - 4 = 0
х = 1 +-√1 + 4= 1 +- √5
из этих двух корней в указанный промежуток попал х = 1 - √5
7)ответ: х = 1 - √5
2)
f(x)= 2x+3 ∛x²
Найдите:
а) Критические точки функции f(x) на отрезке [-8;1]
б) Наибольшее и наименьшее значение функции f(x) на отрезке [-8;1]
---
a)
Критическая точка функции это значение аргумента при котором производная функции равно нулю или не существует.
f'(x) = 2 +3*(2/3) x ^(-1/3) =2 +2/∛x =2(∛x +1) / ∛x
f'(x) =0 ⇔ ∛x +1 = 0 ⇔∛x = -1 ⇒ x = -1
и
∛x = 0 ⇒ x = 0 , где производная функции не существует.
* * * -1 и 0 ∈ [ -8 ;1] . * * *
ответ : -1 ; 0 .
б)
f'(x) + - +
[-1 ] 0
f(x) (возр) ↑ max (убыв) ↓ min (возр) ↑
max f(x) =f(-1) =2*(-1) +3∛(-1)² = -2+3 =1.
min f(x) = f(0) =2*(0) +3∛(0)² = 0.
ответ : 1 ; 0 .
3)
Найдите наибольшее и наименьшее значение функции
f(x) =x^5+ 2x^3+3x-11 на отрезке [-1;1]
---
f ' (x) =(x⁵ + 2x³ +3x - 11 ) ' =5x⁴+6x² +3 >0 функция возрастающая при всех x ∈( -∞ : ∞) .
min f(x) = f(-1) =(-1)⁵ + 2*(-1)³ +3*(-1) - 11 = -1 -2 -3 -11 = -17.
max f(x) = f(1) =1⁵ + 2*1³ +3*1 - 11 = - 5.
ответ : -17 ; - 5 .
4)
Дана функция f(x) = x^3+3x^2+3x+a. Найдите значение параметра а, при котором наименьшее значение функции f(x) на отрезке [-2;1] равно 6.
f(x) = x³+3x²+3x+a ;
f '(x) = 3x²+6x+3 =3(x² +2x+1) =3(x+1)² ≥ 0 →функция везде возрастает
min f(x) = f(-2) = (-2)³ +3*(-2)² +3*(-2) +a = -8 +12 -6 +a = a - 4 .
По условию min f(x) = 6
a - 4 =6 ⇔a =4+6
ответ: 10 .
Удачи !