Представим 4, как 4 * 1 = 4(sin² x + cos²x), затем подставим, раскроем скобки и приведём подобные слагаемые:
8sin²x + sinx cos x + cos²x - 4(sin² x + cos²x) = 0 8sin²x + sinx cos x + cos²x - 4sin²x - 4cos²x = 0 4sin²x + sin x cos x - 3cos²x = 0 Данное уравнение является однородным уравнением второй степени. Для его решения разделим всё уравнение на cos²x. действительно, мы можем разделить на него, поскольку если бы cos²x был бы равен 0, то при подставновке его в уравнение получили бы: 4sin²x + 0 - 0 = 0 sin²x = 0 - но и синус и косинус не могут быть одновременно равны нулю по основному тригонометрическому тождеству. Получили противоречие, значит, мы имеем право разделить на это выражение. Получаем:
4tg²x + tg x - 3 = 0 Теперь пусть tg x = t, тогда
4t² + t - 3 = 0 D = 1 + 48 = 49 t1 = (-1 - 7) / 8 = -8/8 = -1 t2 = (-1+7) / 8 = 6/8 = 3/4 Приходим к совокупности уравнений: tg x = -1 или tg x = 3/4 x = -π/4 + πn, n∈Z x = arctg 3/4 + πk, k∈Z ответ: -π/4 + πn, n∈Z ; arctg 3/4 + πk, k∈Z
Пусть за год вложенные деньги приносят доход в х%, тогда прибыль каждого купца за первый год: 48х. Прибыль 1-ого купца за второй год: 48х * х = 48х². Прибыль 2-ого купца за второй год: (48 + 48х) * х = 48х + 48х². Общая прибыль за два года: 48х * 2 + 48х² + 48х + 48х² = 96х² + 144х.
96х² + 144х = 42 96х² + 144х - 42 = 0 I : 6 16х² + 24х - 7 = 0 D = 24² - 4 * 16 * (- 7) = 576 + 448 = 1024 = 32² Второй корень не подходит, значит, за год прибыль составляла 0,25 или 25%. 48 * 0,25 = 12 (тыс.руб.) - заработал каждый из купцов за первый год. 48 * 0,25² = 3 (тыс.руб) - заработал 1-ый купец за второй год. 12 + 3 = 15 (тыс.руб) - заработал 1-ый купец за два года. 42 - 15 = 27 (тыс.руб) - заработал 2-ой купец. ответ: 15 тыс.руб. - заработал первый купец; 27 тыс. руб. - заработал второй купец.
8sin²x + sinx cos x + cos²x - 4(sin² x + cos²x) = 0
8sin²x + sinx cos x + cos²x - 4sin²x - 4cos²x = 0
4sin²x + sin x cos x - 3cos²x = 0
Данное уравнение является однородным уравнением второй степени. Для его решения разделим всё уравнение на cos²x. действительно, мы можем разделить на него, поскольку если бы cos²x был бы равен 0, то при подставновке его в уравнение получили бы:
4sin²x + 0 - 0 = 0
sin²x = 0 - но и синус и косинус не могут быть одновременно равны нулю по основному тригонометрическому тождеству. Получили противоречие, значит, мы имеем право разделить на это выражение. Получаем:
4tg²x + tg x - 3 = 0
Теперь пусть tg x = t, тогда
4t² + t - 3 = 0
D = 1 + 48 = 49
t1 = (-1 - 7) / 8 = -8/8 = -1
t2 = (-1+7) / 8 = 6/8 = 3/4
Приходим к совокупности уравнений:
tg x = -1 или tg x = 3/4
x = -π/4 + πn, n∈Z x = arctg 3/4 + πk, k∈Z
ответ: -π/4 + πn, n∈Z ; arctg 3/4 + πk, k∈Z
тогда прибыль каждого купца за первый год: 48х.
Прибыль 1-ого купца за второй год: 48х * х = 48х².
Прибыль 2-ого купца за второй год: (48 + 48х) * х = 48х + 48х².
Общая прибыль за два года: 48х * 2 + 48х² + 48х + 48х² = 96х² + 144х.
96х² + 144х = 42
96х² + 144х - 42 = 0 I : 6
16х² + 24х - 7 = 0
D = 24² - 4 * 16 * (- 7) = 576 + 448 = 1024 = 32²
Второй корень не подходит, значит, за год прибыль составляла 0,25 или 25%.
48 * 0,25 = 12 (тыс.руб.) - заработал каждый из купцов за первый год.
48 * 0,25² = 3 (тыс.руб) - заработал 1-ый купец за второй год.
12 + 3 = 15 (тыс.руб) - заработал 1-ый купец за два года.
42 - 15 = 27 (тыс.руб) - заработал 2-ой купец.
ответ: 15 тыс.руб. - заработал первый купец;
27 тыс. руб. - заработал второй купец.