Составьте квадратное уравнение, корнями которого - вопрос №15157741838 от larisavenzel 21.10.2022 10:39

Question

Алгебра: Составьте квадратное уравнение, корнями которого являются числа 1+√5 и 1−√5 и со старшим коэффициентом 5.

larisavenzel · Answer

Квадратное уравнение имеет вид ax² + bx + c = 0

По теореме Виета:
x₁ + x₂ = -b/a
x₁ * x₂ = c/a
x₁ + x₂ = 1 + √5 + 1 - √5 = 2
x₁ * x₂ = (1 + √5) * (1 - √5) = 1 - 5 = -4
-b/a = 2
c/a = -4
Старший коэффициент а = 5
Уравнение имеет вид 5х² + bx + c = 0

-b/5 = 2
-b = 2 * 5
-b = 10
b = -10

c/5 = -4
c = (-4) * 5
c = -20

Полученное уравнение 5x² - 10x - 20 = 0
D= b² - 4ac
D = (-10)² - 4 * 5 * (-20) = 100 + 400 = 500 > 0
Уравнение имеет 2 корня
√D = $\sqrt{500}$ = $\sqrt{5*10^2}$ = 10√5

x₁ = (10 + 10√5) / (2*5) = (10 + 10√5) / 10 = 1 + √5
x₂ = (10 - 10√5) / (2*5) = (10 - 10√5) / 10 = 1 - √5