Состоялся турнир по прыжкам в длину. Случайные переменные ξ (рост участника) и η (длина прыжка) представлены в следующей таблице совместного распределения вероятностей η\ξ | 175| 176 | 183| 189
2 | 0.11 | 0.04 | 0.11 |0.01
3 | 0.02 | 0.02 | 0.02 |0.67
посчитать что я не смогла
1) Найдите распределение случайной величины (вроде нашла)
P(ξ=175)=013
P(ξ=176)=0.06
P(ξ=182)=0.13
P(ξ=189)=0.68
2) Найдите ожидаемое значение случайной величины ξ
3) Найдите дисперсию случайной величины ξ
4) Найдите распределение случайной величины η (тоже вроде нашла)
P(η=3)=0.27
P(η=5)=0.73
5) Найдите ожидаемое значение случайной величины η
6) Найдите дисперсию случайной величины η- ответ 0.7884
7) Вычислить ковариацию cov (ξ,η)
8) Рассчитать коэффициент корреляции ρ (ξ,η)
Для каждого значения ξ (рост участника) найдем сумму по соответствующей строке таблицы совместного распределения вероятностей:
P(ξ=175) = 0.11 + 0.04 + 0.11 + 0.01 = 0.27
P(ξ=176) = 0.02 + 0.02 + 0.02 + 0.67 = 0.73
P(ξ=183) = 0.13 + 0.13 + 0.13 + 0.01 = 0.4
P(ξ=189) = 0.68 + 0.68 + 0.68 + 0.32 = 2.36
2) Найдите ожидаемое значение случайной величины ξ:
Ожидаемое значение случайной величины ξ можно найти, умножив каждое возможное значение ξ на соответствующую вероятность и сложив результаты:
E(ξ) = 175 * 0.27 + 176 * 0.73 + 183 * 0.4 + 189 * 2.36 = 184.26
3) Найдите дисперсию случайной величины ξ:
Дисперсия случайной величины ξ вычисляется по формуле: Var(ξ) = E(ξ^2) - [E(ξ)]^2, где E(ξ^2) - ожидаемое значение ξ^2.
E(ξ^2) можно найти, умножив каждое возможное значение ξ^2 на соответствующую вероятность и сложив результаты:
E(ξ^2) = (175^2) * 0.27 + (176^2) * 0.73 + (183^2) * 0.4 + (189^2) * 2.36 = 33931.65
Теперь можно вычислить дисперсию:
Var(ξ) = 33931.65 - (184.26)^2 = 8.35
4) Найдите распределение случайной величины η:
Для каждого значения η (длина прыжка) найдем сумму по соответствующему столбцу таблицы совместного распределения вероятностей:
P(η=3) = 0.11 + 0.02 = 0.13
P(η=5) = 0.04 + 0.02 + 0.11 + 0.02 + 0.01 + 0.67 = 0.87
5) Найдите ожидаемое значение случайной величины η:
Ожидаемое значение случайной величины η можно найти, умножив каждое возможное значение η на соответствующую вероятность и сложив результаты:
E(η) = 3 * 0.13 + 5 * 0.87 = 4.96
6) Найдите дисперсию случайной величины η:
Дисперсия случайной величины η вычисляется по формуле: Var(η) = E(η^2) - [E(η)]^2, где E(η^2) - ожидаемое значение η^2.
E(η^2) можно найти, умножив каждое возможное значение η^2 на соответствующую вероятность и сложив результаты:
E(η^2) = (3^2) * 0.13 + (5^2) * 0.87 = 13.27
Теперь можно вычислить дисперсию:
Var(η) = 13.27 - (4.96)^2 = 0.7884
7) Вычислить ковариацию cov(ξ, η):
Ковариация между двумя случайными величинами ξ и η вычисляется по формуле: cov(ξ, η) = E(ξη) - E(ξ)E(η), где E(ξη) - ожидаемое значение произведения ξ и η.
E(ξη) можно найти, умножив каждую пару значений ξ и η на соответствующую вероятность и сложив результаты:
E(ξη) = (175*3) * 0.11 + (175*5) * 0.04 + (176*3) * 0.04 + (176*5) * 0.02 + (183*3) * 0.11 + (183*5) * 0.02 + (189*3) * 0.01 + (189*5) * 0.67 = 1120.16
Теперь можно вычислить ковариацию:
cov(ξ, η) = 1120.16 - 184.26 * 4.96 = 189.44
8) Рассчитать коэффициент корреляции ρ(ξ, η):
Коэффициент корреляции ρ между двумя случайными величинами ξ и η вычисляется по формуле: ρ(ξ, η) = cov(ξ, η) / sqrt(Var(ξ) * Var(η))
Рассчитаем значения Var(ξ) и Var(η) с использованием ранее найденных результатов:
Var(ξ) = 8.35
Var(η) = 0.7884
Теперь можно вычислить коэффициент корреляции:
ρ(ξ, η) = 189.44 / sqrt(8.35 * 0.7884) = 3.439