Иррациональное число - это число, не являющееся рациональным, то есть такое, которое нельзя представить в виде отношения двух целых чисел.
Если Вы помните, рациональные числа были введены потому, что во множестве целых чисел не всегда можно выполнить деление. Например, существует целое число, которое является результатом деления 8 на 2, но не существует целого числа, которое является результатом деления 8 на 3. Поэтому были введены рациональные числа, то есть дроби вида p/q. Целые числа стали их подмножеством, когда q=1.
Для выполнимости деления рациональных чисел достаточно, но вот для извлечения корней - нет. Например, не существует рационального числа, которое было бы результатом извлечения квадратного корня из двух. (Это доказывается в Вашем учебнике, я уверен. Если не поняли, напишите, объясню.) Поэтому производят дальнейшее расширение системы чисел. К рациональным числам добавляют ещё и иррациональные, и все они вместе образуют множество действительных чисел.
Если не вдаваться в подробности, то рациональные числа можно отличить от иррациональных следующим образом. Рациональные числа, если их записать десятичной дробью, обязательно дадут конечную или бесконечную периодическую дробь. Это тоже легко доказать. Иррациональные же числа, записанные в виде десятичной дроби, оказываются представленными бесконечной НЕпериодической дробью.
Типичным примером иррационального числа является корень квадратный из двух. Пи - тоже иррациональное число, причем в определенном смысле более сложное, чем корень из двух, потому что Пи нельзя представить в виде корня из рационального числа. Но это уже немножко высший пилотаж
Если Вы помните, рациональные числа были введены потому, что во множестве целых чисел не всегда можно выполнить деление. Например, существует целое число, которое является результатом деления 8 на 2, но не существует целого числа, которое является результатом деления 8 на 3. Поэтому были введены рациональные числа, то есть дроби вида p/q. Целые числа стали их подмножеством, когда q=1.
Для выполнимости деления рациональных чисел достаточно, но вот для извлечения корней - нет. Например, не существует рационального числа, которое было бы результатом извлечения квадратного корня из двух. (Это доказывается в Вашем учебнике, я уверен. Если не поняли, напишите, объясню.) Поэтому производят дальнейшее расширение системы чисел. К рациональным числам добавляют ещё и иррациональные, и все они вместе образуют множество действительных чисел.
Если не вдаваться в подробности, то рациональные числа можно отличить от иррациональных следующим образом. Рациональные числа, если их записать десятичной дробью, обязательно дадут конечную или бесконечную периодическую дробь. Это тоже легко доказать. Иррациональные же числа, записанные в виде десятичной дроби, оказываются представленными бесконечной НЕпериодической дробью.
Типичным примером иррационального числа является корень квадратный из двух. Пи - тоже иррациональное число, причем в определенном смысле более сложное, чем корень из двух, потому что Пи нельзя представить в виде корня из рационального числа. Но это уже немножко высший пилотаж
0).выделите корень уравнения, принадлежащий решению неравенства
х2 + 59х –122 ≤ 0.
решение: 1 способ. 3√х + 34 - 3√ х – 3 = 1
(3√х + 34)3 - 3 (3√х + 34)2 3√ х – 3 + 3 (3√х + 34) ( 3√ х – 3)2 - ( 3√ х – 3)3 = 1
(х + 34) - 3 (3√х + 34) 3√ х – 3 (3√х + 34) - 3√ х – 3) – ( х – 3) = 1
37 – 3 3√(х +34)(х-3) = 1
3√ х2 + 31х – 102 = 12
х2 + 31х – 102 =1728
х2 + 31х - 1830 = 0
х1= 30; х2= - 61 ответ: 30; - 61
проверка показывает, что оба числа являются корнями уравнения.
2 способ.
3√х + 34 - 3√ х – 3 = 1
3√х + 34 = 1 + 3√ х – 3
( 3√х + 34)3 = (1 + 3√ х – 3)3
х +34 = 1 + 33√х – 3 + 3( 3√ х – 3)2 + х – 3
3√ х – 3 =а, то 3а2 + 3а – 36 = 0
а2 + а – 12 = 0
а1=3, а2=-4
3√ х – 3 =3, х=30
3√ х – 3 = -4, х = - 61 ответ: 30; - 61
3 способ.
3√х + 34 - 3√ х – 3 = 1
х + 34 =у3, х – 3 =а3
х + 34 =у3,
х – 3 =а3,
у – а = 1
37 = у3 – а3 ; у3 – а3= (у – а)(у2 +уа +а2)= (у – – а)2 +3уа)
37 = 1(1 + 3уа); уа =12.
получаем, уа =12, у=4, а= 3 или у =-3, а = -4
у – а = 1
откуда, х – 3 = 27, х1=30
х – 3 = -64, х2 = - 61 ответ: 30; - 61
2.решите неравенство методом введения новой переменной: х - √х – 2 ≤ 0
решение: √х =а, а2 – а – 2≤ 0,
+ - +
-1 2
- 1 ≤ а ≤ 2, - 1 ≤ √х ≤ 2, 0 ≤ х ≤ 4
3. решите неравенство по алгоритму: g(х)≥0
√f(х) ≤ g(х) ↔ f(х) ≥0
f(х) ≤ g2(х)
√х2 – 3х – 18 < 4 – х, 4 – х ≥0,
х2 – 3х – 18 ≥0
х2 – 3х – 18 < 16 – 8х + х2
х ≤ 4
х2 – 3х – 18 ≥0
х < 6,8
ответ: (-∞; - 3]
4. решите неравенство по алгоритму: g(х)≥0
√f(х) ≥ g(х) ↔ f(х) ≥ g2(х)
f(х) ≥0
g(х) < 0
√ х – 2 < х – 4, х – 4> 0 или х – 4 ≤0
х – 2 > х2 – 8х + 16 х - 2≥0
х € (4; 6) х € [2; 4]
ответ: [2; 6)
для решения. 1. решите уравнения, используя свойство корня n-ой степени: √ 11 + 3х – 5х2 = 3 ; 5√ х4 - 49 = 2 ; √ х2 –16 = - √ х – 4; (х2 – 4) √х + 1 = 0; √ 7 + 3√( х2 +7) = 3. найдите целый корень. найдите произведение корней. найдите сумму корней.
2. решите уравнение методом введения новой переменной: х2 + √ х2 +20 = 22.
3.решите уравнение методом умножения на сопряженное выражение:
√ 2х2 + 8х +7 - √ 2х2 – 8х +7 = 2х.
4. решите уравнение методом разложения подкоренного выражения на множители:
√ 2х2+ 5х +2 - √ х2 + х – 2 = √ 3х + 6 .
5. решите уравнение методом выделения полного квадрата в подкоренном выражении:
√ х + 5 + 2√ (х +4) - √ х + 8 - 4√( х +4) = √ х +4 .
7. решите неравенства:
√ - х2 – 3х +4 > 2; 5√х5 +х2 – 4 > х; 5х – 17 √х+5 + 31 < 0 ;
√х +4 ≥ 5 - √9 - х ; √х- 3 • 5√ 5 – х ≥0 ; √ х2 – 3х – 18 < 4 – х; √ х2 + 3х – 18 > 2х +3.