Степень с целым отрицательным показателем. В-1 1. Найдите значение выражения :
1) 10-1+ 5-2 2) ( 23)-1 + (-1,7)0 - 2-3 3) ( 34 )-2 * 2-3
2. Преобразуйте выражение так, чтобы оно не содержало степеней с отрицательными и нулевыми показателями :
1) 3−13−5−72.60−50−30 2) (x+2y)-1 : (2x-1 + y-1 )-2
3. Запишите число в стандартном виде и укажите порядок его числа:
1) 12 2) 0,0034 3) 320*103 4) 45* 10-4
4. Сравните :
1) 4,7 * 10-6 и 5, 9 * 10-7 3) 31, 6 * 10-8 и 0,061* 10-6
2) 1, 23 * 106 и 0,12 * 107
5. Порядок некоторого натурального числа равен 5. Сколько цифр содержит десятичная запись этого числа?
Степень с целым отрицательным показателем. В-2
1. Найдите значение выражения :
1) 5-3+ 10-2 2) ( 38)-1 + 3-2 – (-2,6)0 3) ( 23 )-3 * 9-2
2. Преобразуйте выражение так, чтобы оно не содержало степеней с отрицательными и нулевыми показателями :
1) 7,80х−10у−1307−26−15−7 2) (3a+b)-2 : (3b-1 + a-1 )-1
3. Запишите число в стандартном виде и укажите порядок его числа:
1) 560 2) 0,023 3) 670*104 4) 76* 10-3
4. Сравните :
1) 5,8 * 10-5 и 6,2* 10-6 3) 22, 8 * 10-9 и 0,058* 10-7
2) 3, 45 * 105 и 0,34 * 106
5. Порядок некоторого натурального числа равен 6. Сколько цифр содержит десятичная запись этого числа?
1) Степень с целым отрицательным показателем. В-1:
- Для решения этого вопроса необходимо использовать правило, согласно которому a^(-n) = 1/(a^n), где a - число, а n - показатель степени.
1) 10^(-1) + 5^(-2):
10^(-1) = 1/(10^1) = 1/10
5^(-2) = 1/(5^2) = 1/25
Поэтому значение выражения равно: (1/10) + (1/25) = 0.1 + 0.04 = 0.14
2) (23)^(-1) + (-1.7)^0 - 2^(-3):
(23)^(-1) = 1/(23^1) = 1/23
(-1.7)^0 = 1 (согласно правилу a^0 = 1, где a не равно 0)
2^(-3) = 1/(2^3) = 1/8
Поэтому значение выражения равно: 1/23 + 1 - 1/8 = 0.043 + 1 - 0.125 = 0.918
3) (34)^(-2) * 2^(-3):
(34)^(-2) = 1/(34^2) = 1/1156
2^(-3) = 1/(2^3) = 1/8
Поэтому значение выражения равно: (1/1156) * (1/8) = 0.0000675
2) Преобразуйте выражение так, чтобы оно не содержало степеней с отрицательными и нулевыми показателями:
1) 3^(-1) * 3^(-5) * 7^(-2) * 6^0 * 5^0 * 3^0:
3^(-1) = 1/(3^1) = 1/3
3^(-5) = 1/(3^5)
7^(-2) = 1/(7^2) = 1/49
6^0 = 1 (согласно правилу a^0 = 1, где a не равно 0)
5^0 = 1 (согласно правилу a^0 = 1, где a не равно 0)
3^0 = 1 (согласно правилу a^0 = 1, где a не равно 0)
Поэтому значение выражения равно: (1/3) * (1/(3^5)) * (1/49) * 1 * 1 * 1 = 1/(3*3*3*3*3*49) = 1/4617.
2) (x + 2y)^(-1) : ((2x - 1) + y)^(-2):
(x + 2y)^(-1) = 1/(x + 2y)
((2x - 1) + y)^(-2) = 1/((2x - 1) + y)^2
Поэтому новое выражение равно: (1/(x + 2y)) : (1/((2x - 1) + y)^2) = (x + 2y)^2/((2x - 1) + y)^2
3) Запишите число в стандартном виде и укажите порядок его числа:
1) 12 = 1.2 * 10^1 (потому что 12 = 1.2 * 10^1, где 1.2 - мантисса, а 10^1 - порядок числа)
Порядок числа: 1
2) 0.0034 = 3.4 * 10^(-3) (потому что 0.0034 = 3.4 * 10^(-3), где 3.4 - мантисса, а 10^(-3) - порядок числа)
Порядок числа: -3
3) 320 * 10^3 (потому что 320 * 10^3, где мантисса 320, а порядок числа 10^3)
Порядок числа: 3
4) 45 * 10^(-4) (потому что 45 * 10^(-4), где мантисса 45, а порядок числа 10^(-4))
Порядок числа: -4
4) Сравните:
1) 4.7 * 10^(-6) и 5.9 * 10^(-7):
Так как 10^(-6) больше, чем 10^(-7), а мантиссы 4.7 и 5.9 сравниваются, то 4.7 * 10^(-6) > 5.9 * 10^(-7).
2) 1.23 * 10^6 и 0.12 * 10^7:
Так как 10^7 больше, чем 10^6, а мантиссы 1.23 и 0.12 сравниваются, то 1.23 * 10^6 < 0.12 * 10^7.
3) 31.6 * 10^(-8) и 0.061 * 10^(-6):
Так как 10^(-6) больше, чем 10^(-8), а мантиссы 31.6 и 0.061 сравниваются, то 31.6 * 10^(-8) > 0.061 * 10^(-6).
5) Порядок некоторого натурального числа равен 5. Сколько цифр содержит десятичная запись этого числа?
Порядок 5 означает, что число должно быть умножено на 10 в степени 5. При умножении на 10^5 число сдвигается вправо на 5 позиций, поэтому десятичная запись этого числа будет содержать 5 + 1 = 6 цифр.
Степень с целым отрицательным показателем. В-2:
1) Найдите значение выражения :
1) 5^(-3) + 10^(-2):
5^(-3) = 1/(5^3) = 1/125
10^(-2) = 1/(10^2) = 1/100
Поэтому значение выражения равно: 1/125 + 1/100 = 0.008 + 0.01 = 0.018
2) (38)^(-1) + 3^(-2) - (-2.6)^0:
(38)^(-1) = 1/(38^1) = 1/38
3^(-2) = 1/(3^2) = 1/9
(-2.6)^0 = 1 (согласно правилу a^0 = 1, где a не равно 0)
Поэтому значение выражения равно: 1/38 + 1/9 - 1 = 0.026 + 0.111 - 1 = -0.863
3) (23)^(-3) * 9^(-2):
(23)^(-3) = 1/(23^3) ≈ 1/12167 (округление до 5 знаков после запятой)
9^(-2) = 1/(9^2) = 1/81
Поэтому значение выражения равно: (1/12167) * (1/81) = 0.0000000124 (округление до 10 знаков после запятой)
2) Преобразуйте выражение так, чтобы оно не содержало степеней с отрицательными и нулевыми показателями :
1) 7.80 * x^(-10) * y^(-13) * 7^(-26) * 1^(-15) * 7^(-7):
x^(-10) = 1/(x^10)
y^(-13) = 1/(y^13)
7^(-26) = 1/(7^26)
1^(-15) = 1 (согласно правилу a^0 = 1, где a не равно 0)
7^(-7) = 1/(7^7)
Поэтому новое выражение равно: (7.80 * 1/(x^10) * 1/(y^13) * 1/(7^26) * 1 * 1/(7^7)) = 7.80/(x^10 * y^13 * 7^26 * 7^7)
2) (3a + b)^(-2) : ((3b^(-1) + a^(-1))^(-1)):
(3a + b)^(-2) = 1/((3a + b)^2)
(3b^(-1) + a^(-1))^(-1) = 1/((3b^(-1) + a^(-1)))
Поэтому новое выражение равно: (1/((3a + b)^2)) : (1/((3b^(-1) + a^(-1)))) = (3b^(-1) + a^(-1))/(3a + b)^2
3) Запишите число в стандартном виде и укажите порядок его числа:
1) 560 = 5.6 * 10^2 (потому что 560 = 5.6 * 10^2, где 5.6 - мантисса, а 10^2 - порядок числа)
Порядок числа: 2
2) 0.023 = 2.3 * 10^(-2) (потому что 0.023 = 2.3 * 10^(-2), где 2.3 - мантисса, а 10^(-2) - порядок числа)
Порядок числа: -2
3) 670 * 10^4 (потому что 670 * 10^4, где мантисса 670, а порядок числа 10^4)
Порядок числа: 4
4) 76 * 10^(-3) (потому что 76 * 10^(-3), где мантисса 76, а порядок числа 10^(-3))
Порядок числа: -3
4) Сравните:
1) 5.8 * 10^(-5) и 6.2 * 10^(-6):
Так как 10^(-5) больше, чем 10^(-6), а мантиссы 5.8 и 6.2 сравниваются, то 5.8 * 10^(-5) > 6.2 * 10^(-6).
2) 3.45 * 10^5 и 0.34 * 10^6:
Так как 10^6 больше, чем 10^5, а мантиссы 3.45 и 0.34 сравниваются, то 3.45 * 10^5 < 0.34 * 10^6.
3) 22.8 * 10^(-9) и 0.058 * 10^(-7):
Так как 10^(-7) больше, чем 10^(-9), а мантиссы 22.8 и 0.058 сравниваются, то 22.8 * 10^(-9) > 0.058 * 10^(-7).
5) Порядок некоторого натурального числа равен 6. Сколько цифр содержит десятичная запись этого числа?
Порядок 6 означает, что число должно быть умножено на 10 в степени 6. При умножении на 10^6 число сдвигается вправо на 6 позиций, поэтому десятичная запись этого числа будет содержать 6 + 1 = 7 цифр.