Для решения этой задачи, нам необходимо использовать знания о прямоугольном треугольнике и формулах для его нахождения площади.
В прямоугольном треугольнике один из углов равен 90 градусам. Отсюда следует, что катеты треугольника являются сторонами, образующими прямой угол. Пусть один из катетов равен "а", а другой - "b".
Тогда, согласно условию задачи, сумма катетов равна 21 см: a + b = 21.
Также известна площадь треугольника S, которая равна 54 см². Формула для нахождения площади прямоугольного треугольника S = (a * b) / 2.
Следовательно, у нас есть два уравнения с двумя неизвестными:
a + b = 21
S = (a * b) / 2
Для нахождения значения неизвестных можно использовать систему уравнений или метод подстановки. В данном случае, воспользуемся методом подстановки.
Решим первое уравнение относительно "a":
a = 21 - b
Подставим это значение во второе уравнение:
S = ((21 - b) * b) / 2
Упростим уравнение:
54 = (21b - b^2) / 2
Перемножим обе стороны уравнения на 2:
108 = 21b - b^2
Перенесем все в левую сторону и приведем уравнение к виду квадратного уравнения:
b^2 - 21b + 108 = 0
Решим это квадратное уравнение, используя метод дискриминант:
Дискриминант D = b^2 - 4ac = (-21)^2 - 4 * 1 * 108 = 441 - 432 = 9
Так как дискриминант положительный, у нас есть два корня:
b1 = (-(-21) + √9) / (2 * 1) = (21 + 3) / 2 = 24 / 2 = 12
b2 = (-(-21) - √9) / (2 * 1) = (21 - 3) / 2 = 18 / 2 = 9
Осталось подставить значения b1 и b2 в первое уравнение для нахождения значений a1 и a2:
a1 = 21 - 12 = 9
a2 = 21 - 9 = 12
Так как в задаче не указано, какой из катетов является меньшим, то среди решений a1 и a2 нас интересует только меньшее значение. Ответ: меньший катет треугольника равен 9 см.
