Для начала найдем область определения функции, и ее потенциальные точки разрыва
1)D(f)=R, точек разрыва нет
2) проверим функцию на четность, очевидно функция четная, т.к. при подстановке вместо икс минус икс функция вида не изменит.
3) найдем нули функции и знак функции на полученных интервалах, для этого разложим функцию на составляющие x^4-1=(x^2-1)(x^2+1)=(x-1)(x+1)(x^2+1)
Приравняем это к нулю, тогда x=1 x=-1
Исследуем знак функции на промежутках от минус бесконечности до минус 1, от минус 1 до 1, и от 1 до +бесконечности. Для этого подставим любую точку из промежутков и получим знаки +-+ (значит на промежутке от -беск до -1 и от 1 до+беск, функция выше оси Ох, на промежутке -1 до 1 функция ниже оси Ох)
приравняв к нулю икс, получим игрик равный -1
4)найдем ассимптоты, так как точек разрыва нет, то и вертикальных ассимптот нет, найдем наклонную асимптоту, для этого вычислим предел
стремится к бесконечности, а значит ассимптот нет
5)Исследуем точки экстремума и интервалы монотонности, тогда найдем производную
4x³ и приравняем ее к нулю 4x³=0, откуда x=0. Найдем знаки слева и справа от нуля, слева минус справа плюс, значит слева от нуля функция убывает, а справа возрастает. Т.к. 0 принадлежит области определения функция, то подставим его в изначальное уравнение, получим -1. Точка (0,-1) - точка экстремума, т.к. в этой точке производная меняет знак с минуса на плюс, то это точка минимума
6) найдем точки перегиба. Для этого найдем вторую производную - производную от производной = 12x^2. приравняем к нулю и вновь получим 0, найдем знаки слева и справа, с обеих сторон +, значит функция выпукла вниз на всей области определения, и точка 0 не является точкой перегиба
7) нужно построить график по всем значениям которые мы получили
2sinxcosx-√3cosx=0
cosx(2sinx-√3)=0
cosx=0⇒x=π/2+πn,n∈Z
sinx=√3/2⇒x=(-1)^n*π/3+πk,k∈Z
б)sin 2x=√2 cos x
2sinxcosx-√2cosx=0
cosx(2sinx-√2)=0
cosx=0⇒x=π/2+πn,n∈Z
sinx=√2/2⇒x=(-1)^n*π/4+πk,k∈Z в)sin(0,5п+x)+ sin 2x=0
г)cos(0,5п+x)+ sin 2x=0
-sinx+2sinxcosx=0
-sinx(1-2cosx)=0
sinx=0⇒x=πn,n∈Z
cosx=1/2⇒x=+-π/3+2πk,k∈Z
д)sin 4x+√3 sin 3x+sin 2x=0
2sin3xcosx+√3sin3x=0
sin3x(2cosx+√3)=0
sin3x=0⇒3x=πn,n∈Z⇒x=πn/3,n∈Z
cosx=-√3/2⇒x=+-5π/6+2πk,k∈Z
е)cos 3x+sin 5x=sin x
cos3x+sin5x-sinx=0
cos3x+2sin2xcos3x=0
cos3x(1+2sin2x)=0
cos3x=0⇒3x=π/2+πn,n∈Z⇒x=π/6+πn/3,n∈Z
sin2x=-1/2⇒2x=(-1)^(k+1)*π/6+πk,k∈Z⇒x=(-1)^(n+1)*π/12+πk/2,k∈Z
Объяснение:
Для начала найдем область определения функции, и ее потенциальные точки разрыва
1)D(f)=R, точек разрыва нет
2) проверим функцию на четность, очевидно функция четная, т.к. при подстановке вместо икс минус икс функция вида не изменит.
3) найдем нули функции и знак функции на полученных интервалах, для этого разложим функцию на составляющие x^4-1=(x^2-1)(x^2+1)=(x-1)(x+1)(x^2+1)
Приравняем это к нулю, тогда x=1 x=-1
Исследуем знак функции на промежутках от минус бесконечности до минус 1, от минус 1 до 1, и от 1 до +бесконечности. Для этого подставим любую точку из промежутков и получим знаки +-+ (значит на промежутке от -беск до -1 и от 1 до+беск, функция выше оси Ох, на промежутке -1 до 1 функция ниже оси Ох)
приравняв к нулю икс, получим игрик равный -1
4)найдем ассимптоты, так как точек разрыва нет, то и вертикальных ассимптот нет, найдем наклонную асимптоту, для этого вычислим предел
5)Исследуем точки экстремума и интервалы монотонности, тогда найдем производную
4x³ и приравняем ее к нулю 4x³=0, откуда x=0. Найдем знаки слева и справа от нуля, слева минус справа плюс, значит слева от нуля функция убывает, а справа возрастает. Т.к. 0 принадлежит области определения функция, то подставим его в изначальное уравнение, получим -1. Точка (0,-1) - точка экстремума, т.к. в этой точке производная меняет знак с минуса на плюс, то это точка минимума
6) найдем точки перегиба. Для этого найдем вторую производную - производную от производной = 12x^2. приравняем к нулю и вновь получим 0, найдем знаки слева и справа, с обеих сторон +, значит функция выпукла вниз на всей области определения, и точка 0 не является точкой перегиба
7) нужно построить график по всем значениям которые мы получили