Сумма кубов цифр двузначного числа равно 91, а произведение суммы цифр на произведение цифр равно 84.найдите это число

a - цифра десятков, b - цифра единиц,

{a^3+b^3=91,

(a+b)ab=84;

(a+b)^3=a^3+3a^2b+3ab^2+b^3=(a^3+b^3)+3ab(a+b),

(a+b)^3=91+3*84=343,

(a+b)^3=7^3,

a+b=7,

b=7-a,

{a^3+(7-a)^3=91,

a^3+343-49a+7a^2-a^3=91,

7a^2-49a+252=0,

a^2-7a+36=0,

D=-95<0}

(a+7-a)a(7-a)=84,

7a(7-a)=84,

a^2-49a+84=0,

a1=3, a2=4,

b1=4, b2=3;

34 или 43.

пусть цифры числа будут A и B

тогда

A^3+B^3 = 91

(A+B)AB=84 

(a + b)(a^2 - ab + b^2)=91

(A+B)AB=84

рассмотрим первое уравнение: так как а и в цифры числа - то они являются натуральными числами. отсюда следует что а+в и a^2-ab+b^2 натуральные числа.

число 91 разложить на множители можно 2-мя это 1*91 и 7*13

первый вариант неподходит (если а+в=1 то а либо б = 0 тогда значение  a^2-ab+b^2 будет равно 1 если а+в=91 то  a^2 - ab + b^2 небудет равно 1 так как разность суммы квадратов чисел и произведения этих чисел будет больше 1)

второй вариант: 

2.1

a + b = 7  

a^2 - ab + b^2 = 13  

выразим а а=7-в

(7-b)^2-b(7-b)+b^2-13=0

49-14b+b^2-7b+b^2+b^2-13=0

3b^2-21b=-36

3b^2-21b+36=0

b^2-7b+12=0

d=1

b1=3 b2=4 a1=4 a2=3

2.2

a + b = 13  

a^2 - ab + b^2 = 7

а=13-b

(13-b)^2 -b(13-b)+b^2=7

169-26b+b^2-13b+b^2=7 

169-39b+3b^2=7

3b^2-39b+162=0

b^2-13b+54=0

d=169-216

уравнение решений не имеет.

тогда получаем два возможных а и б (4 и 3) (3 и 4) 

подставим значения а и б в уравнение  (A+B)AB=84 оба значения а и б удовлетворяют уравнению.

ответ: такие числа 43 и 34