Войти Регистрация Спроси ai-bota

Сумма s существует и конечна. найдите ее.

Показать ответ

Ответ:

1Маргарет1

08.10.2020 21:39

$S = \dfrac{1}{4}-\dfrac{2}{4^2}+\dfrac{3}{4^3}-\dfrac{4}{4^4}+\dfrac{5}{4^5}-\dfrac{6}{4^6}+...+(-1)^{n+1}\dfrac{n}{4^n}+...$

Домножаем всю сумму на 4

$4S = 1-\dfrac{2}{4}+\dfrac{3}{4^2}-\dfrac{4}{4^3}+\dfrac{5}{4^4}-\dfrac{6}{4^5}+...+(-1)^{n+1}\dfrac{n}{4^{n-1}}+...$

Складываем почленно 4S и S

$4S+S=1+\dfrac{1}{4}-\dfrac{2}{4}-\dfrac{2}{4^2}+\dfrac{3}{4^2}+\dfrac{3}{4^3}-\dfrac{4}{4^3}-\dfrac{4}{4^4}+\dfrac{5}{4^4}+\dfrac{5}{4^5}+...\\ \\ ...+(-1)^{n+1}\dfrac{n}{4^n}+(-1)^{n+2}\dfrac{n+1}{4^n}+(-1)^{n+2}\dfrac{n+1}{4^{n+1}}+(-1)^{n+3}\dfrac{n+2}{4^{n+1}}...\\ \\ 5S=1-\dfrac{1}{4}+\dfrac{1}{4^2}-\dfrac{1}{4^3}+\dfrac{1}{4^4}-\dfrac{1}{4^5}+...\\\\...+(-1)^n\dfrac{-n+n+1}{4^n}+(-1)^{n+2}\dfrac{n+1-n-2}{4^{n+1}}...$

$5S=1-\dfrac{1}{4}+\dfrac{1}{4^2}-\dfrac{1}{4^3}+\dfrac{1}{4^4}-\dfrac{1}{4^5}+...+\dfrac{1}{4^{2k}}-\dfrac{1}{4^{2k+1}}...$

Увеличенная в 5 раз исходная сумма свелась к сумме бесконечной убывающей геометрической прогрессии со знаменателем

$q = -\dfrac{1}{4}:1=-\dfrac{1}{4}$ , сумма которой $S_n=\dfrac{b_1}{1-q}$

$5S=S_n=\dfrac{1}{1+\frac{1}{4}} =1:\dfrac{5}{4}=\dfrac{4}{5}=0,8$

5S = 0,8 ⇒ S = 0,16

ответ: S= 0,16

0,0(0 оценок)

Популярные вопросы: Алгебра

ckudryasheva

18.11.2021 13:19

Найдите наименьшее значение функции у=2√х на промежутке [0,25, 9)...

Maryan2609

02.12.2020 10:10

Найдите произведение корней уравнения [tex]4*4^x+(4x-13)*2^x+3-x=0[/tex]...

Chillin

18.11.2021 13:19

Исследуйте на четность функцию f(x)= 1/x-10+1/x+20...

anisiacom1

21.10.2022 23:55

Если от задуманного числа отнять 18 а разность разделить на 5 и результат возвести в куб,то получится 27.какое число задумано?...

alexbalahoncev

21.10.2022 23:55

Выясните, какие точки принадлежат графику функции y = x в корне: а(100; 10) ,2) в(2; 1), с (1.69; 1.3) d(-4; 2) e(-4; -2) f(7; -7)...

mariakochmar

21.10.2022 23:55

Составьте выражение к в вазе стоят 11 ромашек в кувшине в два раза больше чем в вазе а в корзинке на 5 ромашек меньше чем в кувшину сколько ромашек в корзине?...

рис18

21.10.2022 23:55

Моторная лодка, имеющая скорость в стоячей воде 16 км/ч, отошла от пристани а одновременно с плотом вниз по течению. у пристани в лодка повернула обратно и встретила...

Сергей0081

29.06.2021 18:50

1.9 Відомо, що 1 х 3. Яке з тверджень правильне? А) 3 ≤ 3х – 1 ≤ 7; Б) 2 ≤ 3х – 1 ≤ 6; В)1 ≤ 3х – 1 ≤ 7 ; Г) 2 ≤ 3х – 1 ≤ 8....

Shilork

07.10.2021 02:43

пожайлуст надо!Зарание...

Princessa607

26.05.2021 04:02

1.Длины сторон прямоугольного треугольника являются последовательными четными числами. Найдите площадь треугольника. 2.Произведение четырёх последовательных нечётных...

Полный доступ

Позволит учиться лучше и быстрее. Неограниченный доступ к базе и ответам от экспертов и ai-bota Оформи подписку