Сумма трех чисел, образующих арифметическую прогрессию, равна 3.если к первому и третьему членам добавить по 4,а до второго добавить 3,то полученные числа образуют прогрессию. найдите эти числа. (с полным решением)
Пусть x; y; z - искомые числа, тогда x + y + z = 3, где y = 0,5(х + z) как средний член арифметической прогрессии. Числа x + 4; y + 3; z + 4 - образуют геометрическую пргрессию, отсюда (y + 3)² = (x + 4)(z + 4). Получили систему из трёх уравнений: x + y + z = 3, y = 0,5(х + z), (y + 3)² = (x + 4)(z + 4). Со второго уравнения получим х + z = 2у и подставим его в первое уравнение: у + 2у = 3; 3у = 3; у = 1. Если у = 1, то х + z = 2 и (1 + 3)² = (x + 4)(z + 4); 16 = (x + 4)(z + 4). х = 2 - z; 16 = (2 - z + 4)(z + 4); 16 = (6 - z)(z + 4);
Пусть x; y; z - искомые числа, тогда x + y + z = 3, где y = 0,5(х + z) как средний член арифметической прогрессии. Числа x + 4; y + 3; z + 4 - образуют геометрическую пргрессию, отсюда (y + 3)² = (x + 4)(z + 4). Получили систему из трёх уравнений: x + y + z = 3, y = 0,5(х + z), (y + 3)² = (x + 4)(z + 4). Со второго уравнения получим х + z = 2у и подставим его в первое уравнение: у + 2у = 3; 3у = 3; у = 1. Если у = 1, то х + z = 2 и (1 + 3)² = (x + 4)(z + 4); 16 = (x + 4)(z + 4). х = 2 - z; 16 = (2 - z + 4)(z + 4); 16 = (6 - z)(z + 4);
16 = -z² + 2z + 24; -z² + 2z + 24 - 16 = 0; -z² + 2z + 8 = 0; z² - 2z - 8 = 0. Отсюда
z₁ = 4; z₂ = -2
Если z₁ = 4; z₂ = -2, то х₁ = 2 - 4 = -2; х₂ = 2+2 = 4.
Задача имеет два решения: -2; 1; 4 или 4; 1; -2.
ответ: -2; 1; 4 или 4; 1; -2.