Сумма второго и восьмого членов арифметической прогрессии равна 10, а сумма третьего и четырнадцатого равна (-32) Найдите разность и сумму первых пяти членов арифметической прогрессии
Для начала, нам нужно понять, какие формулы и свойства арифметической прогрессии мы будем использовать.
Арифметическая прогрессия (АП) - это последовательность чисел, в которой каждый следующий член отличается от предыдущего на одно и то же число, называемое разностью (d). Обозначим первый член прогрессии как a₁, а n-ый член - как aₙ.
Формула для n-го члена АП:
aₙ = a₁ + (n - 1) * d
Формула для суммы первых n членов АП:
Sₙ = (n/2) * (a₁ + aₙ)
Мы знаем, что сумма второго и восьмого членов АП равна 10:
a₂ + a₈ = 10 --- (1)
Известно также, что сумма третьего и четырнадцатого членов АП равна -32:
a₃ + a₁₄ = -32 --- (2)
Мы хотим найти разность и сумму первых пяти членов АП.
Пошаговое решение:
1. Найдем разность (d) арифметической прогрессии.
Для этого вычтем формулу для второго члена из формулы для восьмого члена:
a₈ - a₂ = d₈ - d₂
По свойству АП, разность сохраняется, так что мы можем записать:
7d = 10 --- (3)
2. Найдем разность (d) еще одним способом.
Вычтем формулу для третьего члена из формулы для четырнадцатого члена:
a₁₄ - a₃ = d₁₄ - d₃
По свойству АП, разность сохраняется, так что мы можем записать:
11d = -32 --- (4)
3. Решим систему уравнений (3) и (4) для нахождения значения разности d.
Умножим уравнение (3) на 11 и уравнение (4) на 7, затем вычтем одно уравнение из другого:
77d - 70d = -352 - 110
7d = -462
d = -66
4. Теперь, когда мы знаем значение разности d, можно найти первый член (a₁) арифметической прогрессии.
Подставим значение d = -66 в формулу для второго члена:
a₂ = a₁ + (2 - 1) * (-66)
a₂ = a₁ - 66
Таким образом, первый член арифметической прогрессии равен 203.
5. Найдем сумму первых пяти членов арифметической прогрессии (S₅).
Для этого воспользуемся формулой для суммы первых n членов АП:
S₅ = (5/2) * (a₁ + a₅)
Для начала, нам нужно понять, какие формулы и свойства арифметической прогрессии мы будем использовать.
Арифметическая прогрессия (АП) - это последовательность чисел, в которой каждый следующий член отличается от предыдущего на одно и то же число, называемое разностью (d). Обозначим первый член прогрессии как a₁, а n-ый член - как aₙ.
Формула для n-го члена АП:
aₙ = a₁ + (n - 1) * d
Формула для суммы первых n членов АП:
Sₙ = (n/2) * (a₁ + aₙ)
Мы знаем, что сумма второго и восьмого членов АП равна 10:
a₂ + a₈ = 10 --- (1)
Известно также, что сумма третьего и четырнадцатого членов АП равна -32:
a₃ + a₁₄ = -32 --- (2)
Мы хотим найти разность и сумму первых пяти членов АП.
Пошаговое решение:
1. Найдем разность (d) арифметической прогрессии.
Для этого вычтем формулу для второго члена из формулы для восьмого члена:
a₈ - a₂ = d₈ - d₂
По свойству АП, разность сохраняется, так что мы можем записать:
7d = 10 --- (3)
2. Найдем разность (d) еще одним способом.
Вычтем формулу для третьего члена из формулы для четырнадцатого члена:
a₁₄ - a₃ = d₁₄ - d₃
По свойству АП, разность сохраняется, так что мы можем записать:
11d = -32 --- (4)
3. Решим систему уравнений (3) и (4) для нахождения значения разности d.
Умножим уравнение (3) на 11 и уравнение (4) на 7, затем вычтем одно уравнение из другого:
77d - 70d = -352 - 110
7d = -462
d = -66
4. Теперь, когда мы знаем значение разности d, можно найти первый член (a₁) арифметической прогрессии.
Подставим значение d = -66 в формулу для второго члена:
a₂ = a₁ + (2 - 1) * (-66)
a₂ = a₁ - 66
Подставим это значение a₂ в уравнение (1) и решим его:
a₂ + a₈ = 10
(a₁ - 66) + (a₁ + 6 * (-66)) = 10
2a₁ - 396 = 10
2a₁ = 10 + 396
2a₁ = 406
a₁ = 203
Таким образом, первый член арифметической прогрессии равен 203.
5. Найдем сумму первых пяти членов арифметической прогрессии (S₅).
Для этого воспользуемся формулой для суммы первых n членов АП:
S₅ = (5/2) * (a₁ + a₅)
Подставим значения в формулу:
S₅ = (5/2) * (203 + (203 + 4 * (-66)))
S₅ = (5/2) * (203 + 203 - 264)
S₅ = (5/2) * (406 - 264)
S₅ = (5/2) * 142
S₅ = 5 * 71
S₅ = 355
Таким образом, сумма первых пяти членов арифметической прогрессии равна 355.
6. Найдем разность первых пяти членов арифметической прогрессии.
Для этого вычтем первый член из пятого члена:
a₅ - a₁ = 4d
Подставим значения:
(203 + 4 * (-66)) - 203 = 4 * (-66)
74 = -264
Таким образом, разность первых пяти членов арифметической прогрессии равна -264.
Итак, разность первых пяти членов арифметической прогрессии равна -264, а сумма этих пяти членов равна 355.