Существует ли такое число х, что все три числа 2х – √(x^2+2), √(x^2+2) - √(x^2+2019), и √(x^2+2019)- х, являются целыми? ​

1)Обозначим за х см меньший катет, тогда (х+31) см - второй катет. По условию задачи площадь прямоугольника равна 180 см.
Составим и решим уравнение:
х*(х+31)=180
х²+31х=180
х²+31х-180=0
D=b²-4ac
D= 31²-4*1*(-180)=961+720=1681
х=-b+-:2а
х=-31+-:2
х1=10:2=5
х2= - 72:2=-36
По смыслу задачи х=5, тогда х+31=5+31=36
ответ: 5 см,36 см
2) х- сторона квадрата, она же сторона листах-6 - сторона без 6см А=хВ=х-6получаем: х*(х-6)=135 х^2(в квадрате)-6х=135Через дискриминант дальше все легко решается
1)Обозначим за х см меньший катет, тогда (х+31) см - второй катет. 
По условию задачи площадь прямоугольника равна 180 см.
Составим и решим уравнение:
х*(х+31)=180
х²+31х=180
х²+31х-180=0
D=b²-4ac
D= 31²-4*1*(-180)=961+720=1681
х=-b+-:2а
х=-31+-:2
х1=10:2=5
х2= - 72:2=-36
По смыслу задачи х=5, тогда х+31=5+31=36
ответ: 5 см,36 см

Пусть (2n–1) и (2n+1) – два последовательных натуральных нечётных числа.

(2n–1)² + (2n+1)² – 10·((2n+1)² – (2n–1)²)= 90
4n² –4n +1+4n²+4n+1 – 10(4n²+4n+1–(4n² –4n +1)) =90
8n² + 2 – 10·(4n²+4n+1– 4n² + 4n –1) =90
8n² + 2 – 10·8n =90
8n² – 80n + 2 – 90 = 0
8n² – 80n – 88 = 0 (делим на 8)
n² – 10n – 11 = 0
По теореме Виета имеем
n1 + n2 = 10         n1 = 11
n1 · n2 = –11        n2 = – 1 (не имеет смысла)

2n+1 = 2·11+1 = 23 (большее натуральное число)
2n–1 = 2·11–1 = 21 (меньшее натуральное число)

ответ: 21 – искомое число