ТЕКСТ ЗАДАНИЯ 3. выведите, составив уравнение:
Длина прямоугольника на 7 см длиннее ширины. Если длина этого прямоугольника уменьшится в 3 раза и увеличит ширину на 4 см, его периметр уменьшится на 24 см от первого. Сколько сантиметров в ширину прямоугольника?
1) cos(2x + pi/3) = 1/2
2x + pi/3 = pi/3 + 2pi*k; 2x = 2pi*k; x1 = pi*k
2x + pi/3 = -pi/3 + 2pi*k; 2x = -2pi/3 + 2pi*k; x2 = -pi/3 + pi*k
2) sin(7pi/2 - x) = -1/√2
sin(2pi + 3pi/2 - x) = sin(3pi/2 - x) = -cos x = -1/√2
cos x = 1/√2
x = +-pi/4 + 2pi*k
3) Это чуть сложнее.
4sin^2 x - 11sin x*cos x + 7cos^2 x = 0
Делим все на cos^2 x
4tg^2 x - 11tg x + 7 = 0
Получили квадратное уравнение относительно тангенса.
(tg x - 1)(4tg x - 7) = 0
tg x = 1; x1 = pi/4 + pi*k
tg x = 7/4; x2 = arctg(7/4) + pi*k
4) Это самое сложное
3cos 2x + 4 = 5sin(x - pi/2); x ∈ [-3pi/2; pi]
Формула косинуса двойного аргумента: cos 2a = 2cos^2 a - 1
Формула приведения: sin(x - pi/2) = -sin(pi/2 - x) = -cos x
6cos^2 x - 3 + 4 = -5cos x
6cos^2 x + 5cos x + 1 = 0
Квадратное уравнение относительно косинуса
(2cos x + 1)(3cos x + 1) = 0
cos x = -1/2; x = +-2pi/3 + 2pi*k
cos x = -1/3; x = +-arccos(-1/3) + 2pi*k
В указанном промежутке находятся корни:
x1 = -4pi/3; x2 = -2pi/3; x3 = 2pi/3; x4 = arccos(-1/3) - 2pi
x5 = -arccos(-1/3); x6 = arccos(-1/3)
5) Это опять элементарно
tg x =1/√3
x = pi/6 + pi*k
1) |x - 1| + 2|x - 3| = 5 - x
Если x < 1, то |x - 1| = 1 - x, |x - 3| = 3 - x
1 - x + 2(3 - x) = 5 - x
1 - x + 6 - 2x = 5 - x
1 + 6 - 5 = x + 2x - x
2x = 2; x = 1 - не подходит, потому что x < 1
Если x ∈ [1; 3), то |x - 1| = x - 1; |x - 3| = 3 - x
x - 1 + 2(3 - x) = 5 - x
x - 1 + 6 - 2x = 5 - x
5 - x = 5 - x
Это верно при любом x ∈ [1; 3)
Если x >= 3, то |x - 1| = x - 1; |x - 3| = x - 3
x - 1 + 2(x - 3) = 5 - x
x - 1 + 2x - 6 = 5 - x
3x + x = 5 + 6 + 1
4x = 12
x = 3
ответ: x ∈ [1; 3]
2) |x - 1| = x^3 - 3x^2 + x + 1
Если x < 1, то |x - 1| = 1 - x
1 - x = x^3 - 3x^2 + x + 1
0 = x^3 - 3x^2 + 2x
x(x - 1)(x - 2) = 0
x1 = 0 < 1 - подходит
x2 = 1; x3 = 2 > 1 - оба не подходят.
Если x >= 1, то |x - 1| = x - 1
x - 1 = x^3 - 3x^2 + x + 1
0 = x^3 - 3x^2 + 2
x^3 - x^2 - 2x^2 + 2x - 2x + 2 = 0
(x - 1)(x^2 -2x - 2) = 0
x1 = 1 - подходит.
x^2 - 2x - 2 = 0
D = 2^2 - 4*(-2) = 4 + 8 = 12 = (2√3)^2
x2 = (2 - 2√3)/2 = 1 - √3 < 1 - не подходит
x3 = (2 + 2√3)/2 = 1 + √2 > 1 - подходит
ответ: x1 = 0; x2 = 1; x3 = 1 + √2