! ​

1. Найдите производные функций

А) y= x6    y`=6x5

б) y = 2  y`=0

в) y=5/x      y`=-5/x^2

г) y = 3-5x     y=-5

  д) y= 8 √x + 0,5 cos x       y`=4/Vx   -0.5sinx

 е) y=sinx / x              y`={xcosx-sinx}/x^2

ж) y= x ctg x         y`={ctgx-x/sin^2x}=cosx/sinx-  x/sin^2x={cosxsinx-x}/sin^2x

з) y= (5x + 1)^7     y`=5*7(5x+1)^6=35(5x+1)^6

2.Найдите угол, который образует с положительным лучом оси абсцисс касательная к графику функции:

  y= x^8/8 – x^5/5 - x √3 – 3 в точке x0= 1

y`=x^7-x^4-V3              tga=y`(1)=1-1-V3=-V3           a=120*

3. Вычислите если f(x)=2cos x+ x2-  +5     что надо?

4. Прямолинейное движение точки описывается законом s=t4 – t2(м). Найдите ее скорость в момент времени t=3с.

v=s`=4t3-2t

v(3)=4*27-2*3=108-6=102   м/с

5. Найдите все значения х, при которых выполняется неравенство f/(x)<0, если 

f(x)= 81x – 3x3

f`=81-9x^2=9(3-x)(3+x)

    -3          3

-          +            -

xe(-oo,-3)U(3,+oo)

6. Найдите все значения х, при которых выполняется равенство f/(x)=0, если f(x)=cos2x - x√3 и x€[0,4π].

Пусть х - производительность 1-й трубы, у- производительность 2-й. 1-я наполнит бассейн за 1/х часов, 2-я за 1/у часов, через 2-ю дольше на 3 часа

1/у - 1/х = 3     (1)

Если открыты обе трубы, то производительность (х-у), бассейн наполнится за 1/(х-у) часов, что по условию равно 36 часов.

1/(х-у) = 36      (2)    Отсюда х - у = 1/36 (3)

Решаем систему

1/у - 1/х = 3  →  х - у = 3ху   (1)

1/(х-у) = 36   →  х - у = 1/36 (подставим х-у в (1))    →    х = у + 1/36   (2)

1/36 = 3*(у + 1/36)*у    /умножим на 36/

1 = 108у2 + 3у

108 у2 + 3у - 1 = 0

D = 32 - 4*108*(-1) = 441

у1 = (-3 + √441) / (2*108) = 18/216 = 1/12 - производительтность 2-й трубы

у2 = (-3 - √441) / (2*108) = -24/216 = -1/9 (не уд.усл.)

х = 1/12 + 1/36 = 4/36 = 1/9 - производительность 1-й трубы

Тоесть через первую трубу наполняется за 9 часов, через 2-ю опустошается за 12 часов.