Займусь своим любимым делом - упрощением уравнения. Но сначала выпишем ОДЗ: это очевидное следствие наличия двух радикалов. Далее: обращаю внимание на то, что в двух случаях "x" входит в уравнение с коэффициентом 5. А ведь скорее всего придется в квадрат возводить... В общем, домножаю уравнение на занося сразу этот множитель под знаки радикалов:
На мой взгляд, уравнение стало выглядеть чуть привлекательней. Но это не предел. В уравнение неизвестная входит четыре раза. Надо бы уменьшить. Проверяем подстановкой, является ли решением t=0 - не является. Поэтому можно поделить уравнение на записав теперь его в виде
то есть это уравнение можно смело возводить в квадрат без боязни приобрести лишние корни:
угадываем p=1; делим столбиком или угадываем разложение любым другим доступным ниже нашего достоинства говорить о таких мелочах, когда решаешь такую продвинутую задачу):
Итак, одно решение у нас уже есть (надо только не забыть в конце вернуться к первоначальной переменной), остается решить квадратное уравнение. Желающие могут вычислять дискриминант, мы же продолжим идти путем упрощенчества. Домножим уравнение
Займусь своим любимым делом - упрощением уравнения. Но сначала выпишем ОДЗ:![x\in[0;1] -](/tpl/images/0329/6763/5c625.png)
это очевидное следствие наличия двух радикалов. Далее: обращаю внимание на то, что в двух случаях "x" входит в уравнение с коэффициентом 5. А ведь скорее всего придется в квадрат возводить... В общем, домножаю уравнение на 
занося сразу этот множитель под знаки радикалов:
На мой взгляд, уравнение стало выглядеть чуть привлекательней. Но это не предел. В уравнение неизвестная входит четыре раза. Надо бы уменьшить. Проверяем подстановкой, является ли решением t=0 - не является. Поэтому можно поделить уравнение на
записав теперь его в виде
то есть это уравнение можно смело возводить в квадрат без боязни приобрести лишние корни:
угадываем p=1; делим столбиком или угадываем разложение любым другим доступным ниже нашего достоинства говорить о таких мелочах, когда решаешь такую продвинутую задачу):
Итак, одно решение у нас уже есть (надо только не забыть в конце вернуться к первоначальной переменной), остается решить квадратное уравнение. Желающие могут вычислять дискриминант, мы же продолжим идти путем упрощенчества. Домножим уравнение
Дополнительно было решение p=1; t=1; x=1/5.
ответ:
(5x + 2)√(1 - x) + (5x - 7)√x = 0
ОДЗ подкоренные выражения неотрицательны
1 - x ≥ 0 x ≤ 1
x ≥ 0
x ∈ [0 1]
(5x + 2)√(1 - x) = (7 - 5x )√x
при таком ОДЗ 7-5х > 0 (5x+2) > 0 корни тоже больше равны 0
смело возводим в квадрат
(5x + 2)²√(1 - x)² = (7 - 5x )²√x²
(25x² + 20x + 4)(1 - x) = (49 - 70x + 25x²)x
25x² + 20x + 4 - 25x³ - 20x² - 4x = 49x - 70x² + 25x³
50x³ - 75x² + 33x - 4 = 0
50x³ - 25x² - 50x² + 25x + 8x - 4 = 0
25x²(2x - 1) - 25x(2x - 1) + 4(2x - 1) = 0
(2x - 1)(25x² - 25x + 4) = 0
Dвторой скобки = 25² - 4*4*25 = 625 - 400 = 225 = 15²
x12 = (25 +- 15)/50 = 1/5 4/5
(2x - 1)(x - 1/5)(x - 4/5) = 0
(2x - 1)(5x - 1)(5x - 4) = 0
x1 = 1/2
x2 = 1/5
x3 = 4/5
все корни входят в ОДЗ [0 1]