Туристи подолали 580 км, з них 5 год потягом і 4 год автобусом.
Який шлях туристи подолали потягом і який — автобусом, якщо
швидкість автобуса на 10 км/год більша за швидкість потяга?​​

Точка x0 называется точкой максимума функции f(x), если существует такая окрестность точки x0, что для всех x ≠ x0 из этой окрестности выполняется неравенство f(x)< f(x0).Точка x0 называется точкой минимума функции f(x), если существует такая окрестность точки x0, что для всех x ≠ x0 из этой окрестности выполняется неравенство f(x)> f(x0).Точки минимума и точки максимума называются точками экстремума.Теорема. Если x0 – точка экстремума дифференцируемой функции f(x), то f ′(x0) =0.Точки, в которых функция имеет производную, равную нулю, или недифференцируема (не имеет производной), называют критическими точками. Точки, в которых производная равна 0, называют стационарными.Геометрический смысл: касательная к графику функции y=f(x) в экстремальной точке параллельна оси абсцисс (OX), и поэтому ее угловой коэффициент равен 0 ( k = tg α = 0).Теорема: Пусть функция f(x) дифференцируема на интервале (a;b), x0 С (a;b), и f ′(x0) =0. Тогда:1) Если при переходе через стационарную точку x0 функции f(x) ее производная меняет знак с «плюса» на «минус», то x0 – точка максимума.2) Если при переходе через стационарную точку x0 функции f(x) ее производная меняет знак с «минуса» на «плюс» , то x0 – точка минимума. ПРАВИЛО нахождения наибольшего и наименьшего значения функции f(x)                                          на отрезке [a;b]. 1. Найти призводную функции и приравнять нулю. Найти критические точки.2. Найти значения функции на концах отрезка, т.е. числа f(a) и f(b).3. Найти значения функции в тех критических точках, которые принадлежат [a;b].4. Из найденных значений выбрать наибольшее и наименьшее.  ПРАВИЛО нахождения минимума и максимума функции f(x)                                          на интервале (a;b).1. Найти критические точки f(x) (в которых f ′(x)=0 или f(x) не существует) .2. Нанести их на числовую прямую (только те, которые принадлежат (a,b) ).f ′(x)                +                       –                        +
                 a x0x1 bf (x)                   /                       \                        /3. Расставить знаки производной в строке f ′(x) , расставить стрелки в строке f(x).4. x max = x0,           x min = x1.5. y max = y(x0),       y min = y(x1).

Если функция имеет вид  y=2x^3+9x^2-18x+15, то вот её график:

Область определения функции. ОДЗ: -00<x<+00
Точка пересечения графика функции с осью координат Y:График пересекает ось Y, когда x равняется 0: подставляем x=0 в 2*x^3+9*x^2-18*x+15. 
Результат: y=15. Точка: (0, 15)Точки пересечения графика функции с осью координат X:График функции пересекает ось X при y=0, значит нам надо решить уравнение:2*x^3+9*x^2-18*x+15 = 0Решаем это уравнение  и его корни будут точками пересечения с X:
x=-(3*sqrt(85)/4 + 111/8)**(1/3) - 21/(4*(3*sqrt(85)/4 + 111/8)**(1/3)) - 3/2. Точка: (-(3*sqrt(85)/4 + 111/8)**(1/3) - 21/(4*(3*sqrt(85)/4 + 111/8)**(1/3)) - 3/2, 0)Экстремумы функции:Для того, чтобы найти экстремумы, нужно решить уравнение y'=0 (производная равна нулю), и корни этого уравнения будут экстремумами данной функции:
y'=6*x^2 + 18*x - 18=0
Решаем это уравнение и его корни будут экстремумами:
Квадратное уравнение, решаем относительно x: 
Ищем дискриминант:D=18^2-4*6*(-18)=324-4*6*(-18)=324-24*(-18)=324-(-24*18)=324-(-432)=324+432=756;
Дискриминант больше 0, уравнение имеет 2 корня:x_1=(2root756-18)/(2*6)=(2root756-18)/12=2root756/12-18/12=2root756/12-1.5 ≈ 0.79128784747792;
x_2=(-2root756-18)/(2*6)=(-2root756-18)/12=-2root756/12-18/12=-2root756/12-1.5 ≈ -3.79128784747792.x=-3/2 + sqrt(21)/2. Точка: (-3/2 + sqrt(21)/2, -9*sqrt(21) + 2*(-3/2 + sqrt(21)/2)^3 + 9*(-3/2 + sqrt(21)/2)^2 + 42)x=-sqrt(21)/2 - 3/2. Точка: (-sqrt(21)/2 - 3/2, 2*(-sqrt(21)/2 - 3/2)^3 + 9*sqrt(21) + 42 + 9*(-sqrt(21)/2 - 3/2)^2)Интервалы возрастания и убывания функции:Найдем интервалы, где функция возрастает и убывает, а также минимумы и максимумы функции, для этого смотрим на ведет себя функция в экстремумах при малейшем отклонении от экстремума:Минимумы функции в точках:-3/2 + sqrt(21)/2Максимумы функции в точках:-sqrt(21)/2 - 3/2Возрастает на промежутках: (-oo, -sqrt(21)/2 - 3/2] U [-3/2 + sqrt(21)/2, oo)Убывает на промежутках: [-sqrt(21)/2 - 3/2, -3/2 + sqrt(21)/2]Точки перегибов графика функции:Найдем точки перегибов для функции, для этого надо решить уравнение y''=0 - вторая производная равняется нулю, корни полученного уравнения будут точками перегибов указанного графика функции, 
+ нужно подсчитать пределы y'' при аргументе, стремящемся к точкам неопределенности функции:y''=12*x + 18=0
Решаем это уравнение и его корни будут точками, где у графика перегибы:x=-3/2. Точка: (-3/2, 111/2)Интервалы выпуклости, вогнутости:Найдем интервалы, где функция выпуклая или вогнутая, для этого посмотрим, как ведет себя функция в точках изгибов:Вогнутая на промежутках: [-3/2, oo)Выпуклая на промежутках: (-oo, -3/2]Вертикальные асимптоты графика функции:Горизонтальную асимптоту найдем с предела данной функции при x->+oo и x->-oo. Соотвествующие пределы находим :lim 2*x^3+9*x^2-18*x+15, x->+oo = oo, значит горизонтальной асимптоты справа не существуетlim 2*x^3+9*x^2-18*x+15, x->-oo = -oo, значит горизонтальной асимптоты слева не существуетНаклонные асимптоты графика функции:Наклонную асимптоту можно найти, подсчитав предел данной функции, деленной на x при x->+oo и x->-oo. Находим пределы :lim 2*x^3+9*x^2-18*x+15/x, x->+oo = oo, значит наклонной асимптоты справа не существуетlim 2*x^3+9*x^2-18*x+15/x, x->-oo = oo, значит наклонной асимптоты слева не существуетЧетность и нечетность функции:Проверим функци четна или нечетна с соотношений f(x)=f(-x) и f(x)=-f(x). Итак, проверяем:2*x^3+9*x^2-18*x+15 = -2*x^3 + 9*x^2 + 18*x + 15 - Нет2*x^3+9*x^2-18*x+15 = -(-2*x^3 + 9*x^2 + 18*x + 15) - Нетзначит, функция не является ни четной ни нечетной