Укажите соответствующий вывод для каждого неравенства. Обоснуйте свой ответ. [8]
а) х2+2х+8≥0; б) -х2+6х-9>0; в) х2+5х+4≤0; г) –х2+16<0
1) Неравенство не имеет решений.
2) Решением неравенства является вся числовая прямая.
3) Решением неравенства является одна точка.
4) Решением неравенства является закрытый промежуток.
5) Решением неравенства является открытый промежуток.
6) Решением неравенства является объединение двух промежутков.
Функция дана следующим образом: f(x) = 27√x - x
1. Найдем область определения функции:
У функции под знаком корня должно быть неотрицательное значение, поэтому x ≥ 0.
Таким образом, область определения функции: x ≥ 0.
2. Найдем производные функции:
Для исследования монотонности и нахождения экстремумов функции, нам необходимо найти производные первого и второго порядка.
Первая производная f'(x) позволяет определить, когда функция возрастает и когда убывает. Возьмем производную от каждого слагаемого в функции:
f'(x) = (27√x)' - x'
Для удобства дифференцирования вспомним, что √x = x^(1/2).
Тогда получим:
f'(x) = 27 * (x^(1/2))' - 1
Дифференцируем каждое слагаемое:
(x^(1/2))' = (1/2)x^(-1/2) = (1/2√x)
Теперь выразим первую производную:
f'(x) = 27 * (1/2√x) - 1
f'(x) = 27/2√x - 1
Вторая производная f''(x) позволяет определить, есть ли в точке экстремум и какого типа он будет:
f''(x) = (27/2√x - 1)'
Дифференцируем каждое слагаемое:
(27/2√x - 1)' = (27/2√x)' - 1'
Теперь найдем частные производные:
(√x)' = (1/2√x)
(1)' = 0 (производная постоянной равна нулю)
Теперь выразим вторую производную:
f''(x) = (27/2√x - 1)'
f''(x) = (27/2√x)' - 0
f''(x) = (27/2√x)
f''(x) = 27/(2√x)
3. Определение монотонности функции:
Для определения монотонности нужно проанализировать знак первой производной. Если производная положительна, функция возрастает, если отрицательна - функция убывает.
f'(x) = 27/2√x - 1
Установим неравенство нулю и найдем значения, где производная меняет знак:
27/2√x - 1 ≥ 0
27/2√x ≥ 1
27/2√x ≥ 2/2
27/2√x ≥ √x
Получаем неравенство:
√x ≤ 27/2√x
Теперь возводим обе части неравенства в квадрат:
(√x)^2 ≤ (27/2√x)^2
x ≤ (27/2)^2
x ≤ 27^2/4
x ≤ 729/4
Таким образом, итоговое множество, где функция возрастает или убывает, будет x ≤ 729/4.
4. Определение экстремумов функции:
Для определения экстремумов функции нужно проанализировать знак второй производной. Если вторая производная положительна, то в данной точке будет минимум, если отрицательна - будет максимум.
f''(x) = 27/(2√x)
Установим неравенство нулю и найдем значения, где производная меняет знак:
27/(2√x) > 0
27 > 0 (неравенство выполнено всегда)
Таким образом, функция f(x) не имеет экстремумов.
Итак, наше исследование показало, что функция f(x) = 27√x - x монотонно возрастает при x ≤ 729/4 и не имеет экстремумов.
Для начала, определим условия возрастания функции. Функция возрастает на промежутке, если производная функции на этом промежутке положительна.
1. Вычислим производную данной функции с помощью правил дифференцирования:
f'(x) = d/dx (-1,5x^2 + x^3)
= -3x + 3x^2
2. Теперь, найдем значения x, при которых производная равна нулю:
-3x + 3x^2 = 0
Разложим данное уравнение на множители:
-3x(x - 1) = 0
Таким образом, у нас есть две точки, в которых производная равна нулю: x = 0 и x = 1.
3. Нам необходимо определить знак производной между найденными значениями x (x < 0, 0 < x < 1, x > 1) и за пределами этих значений:
- Возьмем произвольное значение x < 0, например, x = -1, и подставим его в производную функцию:
f'(-1) = -3(-1) + 3(-1)^2 = 3 + 3 = 6
Так как результат положительный, значит, функция возрастает при x < 0.
- Теперь, возьмем значения x между 0 и 1, например, x = 0,5:
f'(0,5) = -3(0,5) + 3(0,5)^2 = -1,5 + 0,75 = -0,75
Результат отрицательный, значит, функция убывает при x между 0 и 1.
- Наконец, возьмем произвольное значение x > 1, например, x = 2:
f'(2) = -3(2) + 3(2)^2 = -6 + 12 = 6
Результат положительный, значит, функция возрастает при x > 1.
4. Итак, мы получили следующие промежутки возрастания функции:
- Бесконечность до 0 (не включая 0)
- От 1 до плюс бесконечности (не включая 1)
Таким образом, промежутки возрастания функции -1,5x^2 + x^3 можно записать как (-∞, 0) объединённое со (1, +∞).