Существуют ли числа a и b, такие, что 2bt² - at - b + 1 < 0 при любом t ∈ [-1; 1]?
0 ∈ [-1; 1] ⇒ f(0) = 2b·0² - a·0 - b + 1 = 1 - b < 0 ⇔ b > 1.
Тогда при b > 1, график y = f(t) - парабола с ветвями вверх. Значит, решение неравенства f(t) < 0 имеет вид: (t₁; t₂), где t₁, t₂ - корни f(t).
По условию задачи должно выполняться: [-1; 1] ⊂ (t₁; t₂). То есть меньший корень должен быть меньше -1, а больший - больше 1. Для этого необходимо и достаточно, чтобы
Пусть было х школьников. За час они обработали 30 х работ. Через час ушло у школьников, осталось (х-у) школьников. За второй час они обработали 30(х-у) работ. Еще через час ушло у школьников, осталось (х-у-у)=(х-2у) школьников. За третий час они обработали 30*(х-2у) работ Еще ушло у школьников, осталось (х-2у-у)=(х-3у) школьников. За 10 минут они обработали 30·(1/6)(х-3у) работ. Всего за 3 часа 10 минут обработано 30х+30·(х-у)+30·(х-2у)+5·(х-3у) работ, что по условию равно 1775 работ.
Уравнение 30х+30·(х-у)+30·(х-2у)+5·(х-3у)=1775 95х-105у=1775 Найти 30х+30*(1/2)·(х-у)=45х-15у
95х-105у=1775 ⇒19х-21у=355 ⇒ х=(355+21у)/19⇒
х=18+(13+21у)/19
Так как х и у натуральные числа, надо найти такое натуральное у, при котором 13+21у кратно 19. Перебор: при у=1 13+21у=34 при у= 2 13+21у=55 при у=3 13+21у=76 кратно 19 Значит, у=3 х=22 и тогда 45х-15у = 945
30*22+30*(22-3)+30*(22-6)+5*(22-9)=1775 О т в е т. 945 работ.
Переформулируем задачу:
Существуют ли числа a и b, такие, что 2bt² - at - b + 1 < 0 при любом t ∈ [-1; 1]?
0 ∈ [-1; 1] ⇒ f(0) = 2b·0² - a·0 - b + 1 = 1 - b < 0 ⇔ b > 1.
Тогда при b > 1, график y = f(t) - парабола с ветвями вверх. Значит, решение неравенства f(t) < 0 имеет вид: (t₁; t₂), где t₁, t₂ - корни f(t).
По условию задачи должно выполняться: [-1; 1] ⊂ (t₁; t₂). То есть меньший корень должен быть меньше -1, а больший - больше 1. Для этого необходимо и достаточно, чтобы
Но, как выяснилось ранее, b > 1 - противоречие.
ответ: нет.
За час они обработали 30 х работ.
Через час ушло у школьников, осталось (х-у) школьников.
За второй час они обработали 30(х-у) работ.
Еще через час ушло у школьников, осталось (х-у-у)=(х-2у) школьников.
За третий час они обработали 30*(х-2у) работ
Еще ушло у школьников, осталось (х-2у-у)=(х-3у) школьников.
За 10 минут они обработали 30·(1/6)(х-3у) работ.
Всего за 3 часа 10 минут обработано
30х+30·(х-у)+30·(х-2у)+5·(х-3у) работ, что по условию равно 1775 работ.
Уравнение
30х+30·(х-у)+30·(х-2у)+5·(х-3у)=1775
95х-105у=1775
Найти
30х+30*(1/2)·(х-у)=45х-15у
95х-105у=1775 ⇒19х-21у=355 ⇒ х=(355+21у)/19⇒
х=18+(13+21у)/19
Так как х и у натуральные числа, надо найти такое натуральное у, при котором 13+21у кратно 19.
Перебор:
при у=1 13+21у=34
при у= 2 13+21у=55
при у=3 13+21у=76 кратно 19
Значит, у=3 х=22
и тогда 45х-15у = 945
30*22+30*(22-3)+30*(22-6)+5*(22-9)=1775
О т в е т. 945 работ.