Привет! Я с удовольствием помогу тебе найти наибольшее и наименьшее значения функции y = 8sin(x)cos(x) - 2.
Для начала, давай разберемся, что такое синус и косинус. Синус и косинус это две из основных тригонометрических функций. Они зависят от значения угла и представлены числами от -1 до 1.
Теперь, чтобы найти наибольшее и наименьшее значения функции, нам нужно знать, как меняется функция и на каких участках.
Функция y = 8sin(x)cos(x) - 2 зависит от угла x. Идея заключается в том, чтобы найти углы, при которых функция достигает своих экстремальных значений, то есть наибольшего и наименьшего значения.
Для этого найдем производную функции по x. Производная функции позволяет найти точки, в которых функция имеет экстремумы.
dy/dx = 8cos^2(x) - 8sin^2(x)
Для нахождения точек экстремумов, нужно приравнять производную к нулю и решить уравнение:
8cos^2(x) - 8sin^2(x) = 0
Теперь решим это уравнение:
8cos^2(x) - 8sin^2(x) = 0
Перенесем всё влево:
8cos^2(x) - 8sin^2(x) - 0 = 0
Преобразуем выражение, используя тригонометрические тождества:
8(cos^2(x) - sin^2(x)) = 0
Теперь заменим cos^2(x) на 1 - sin^2(x):
8(1 - sin^2(x) - sin^2(x)) = 0
Раскроем скобки:
8 - 8sin^2(x) - 8sin^2(x) = 0
Упростим:
8 - 16sin^2(x) = 0
Перенесем 8 на другую сторону:
-16sin^2(x) = -8
Вынесем -8 за скобку:
16sin^2(x) = 8
Разделим обе части уравнения на 16:
sin^2(x) = 8/16 = 1/2
Возьмем квадратный корень от обеих частей:
sin(x) = √(1/2)
Теперь найдем углы, при которых sin(x) равен √(1/2). Обрати внимание, что sin(x) может принимать разные значения при разных углах (в пределах одного периода функции). В элементарной тригонометрии существуют специальные углы, при которых sin(x) и cos(x) равны определенным числам.
У нас есть таблица специальных значений тригонометрических функций, и мы можем найти значение √(1/2):
sin(x) = √(1/2) = 0.707
Из таблицы мы видим, что sin(x) равен √(1/2) при угле 45 градусов (π/4 радиан).
Теперь, когда мы знаем значение угла x, при котором sin(x) = √(1/2), можем найти значения функции y = 8sin(x)cos(x) - 2.
Для начала, давай разберемся, что такое синус и косинус. Синус и косинус это две из основных тригонометрических функций. Они зависят от значения угла и представлены числами от -1 до 1.
Теперь, чтобы найти наибольшее и наименьшее значения функции, нам нужно знать, как меняется функция и на каких участках.
Функция y = 8sin(x)cos(x) - 2 зависит от угла x. Идея заключается в том, чтобы найти углы, при которых функция достигает своих экстремальных значений, то есть наибольшего и наименьшего значения.
Для этого найдем производную функции по x. Производная функции позволяет найти точки, в которых функция имеет экстремумы.
dy/dx = 8cos^2(x) - 8sin^2(x)
Для нахождения точек экстремумов, нужно приравнять производную к нулю и решить уравнение:
8cos^2(x) - 8sin^2(x) = 0
Теперь решим это уравнение:
8cos^2(x) - 8sin^2(x) = 0
Перенесем всё влево:
8cos^2(x) - 8sin^2(x) - 0 = 0
Преобразуем выражение, используя тригонометрические тождества:
8(cos^2(x) - sin^2(x)) = 0
Теперь заменим cos^2(x) на 1 - sin^2(x):
8(1 - sin^2(x) - sin^2(x)) = 0
Раскроем скобки:
8 - 8sin^2(x) - 8sin^2(x) = 0
Упростим:
8 - 16sin^2(x) = 0
Перенесем 8 на другую сторону:
-16sin^2(x) = -8
Вынесем -8 за скобку:
16sin^2(x) = 8
Разделим обе части уравнения на 16:
sin^2(x) = 8/16 = 1/2
Возьмем квадратный корень от обеих частей:
sin(x) = √(1/2)
Теперь найдем углы, при которых sin(x) равен √(1/2). Обрати внимание, что sin(x) может принимать разные значения при разных углах (в пределах одного периода функции). В элементарной тригонометрии существуют специальные углы, при которых sin(x) и cos(x) равны определенным числам.
У нас есть таблица специальных значений тригонометрических функций, и мы можем найти значение √(1/2):
sin(x) = √(1/2) = 0.707
Из таблицы мы видим, что sin(x) равен √(1/2) при угле 45 градусов (π/4 радиан).
Теперь, когда мы знаем значение угла x, при котором sin(x) = √(1/2), можем найти значения функции y = 8sin(x)cos(x) - 2.
Подставим найденный угол x в функцию:
y = 8sin(x)cos(x) - 2
= 8 * 0.707 * cos(45) - 2
≈ 8 * 0.707 * 0.707 - 2
≈ 4.99 - 2
≈ 2.99
Таким образом, наибольшее значение функции y = 8sin(x)cos(x) - 2 равно примерно 2.99, и оно достигается при угле x, равном 45 градусов (π/4 радиан).
Наименьшее значение функции можно найти, используя тот же самый угол x:
y = 8sin(x)cos(x) - 2
= 8 * 0.707 * cos(45) - 2
≈ 8 * 0.707 * 0.707 - 2
≈ 4.99 - 2
≈ 2.99
Таким образом, наименьшее значение функции y = 8sin(x)cos(x) - 2 также равно примерно 2.99 и достигается при угле x, равном 45 градусов (π/4 радиан).
Надеюсь, это решение было понятно и полезно для тебя! Если у тебя возникнут еще вопросы, не стесняйся задавать. Я всегда готов помочь!