Упражнение 40.5
извините за плохое качество фото
(заранее )​

Рассмотрим выражение . Чтобы оно было наименьшим, необходимо, чтобы выражения и были наименьшим.

Заметим, что выражение может быть отрицательным. Если его числитель будет наименьшим отрицательным, а знаменатель - наименьшим положительным, то оно примет наименьшее значение. Значит, необходимо выбрать наименьшим, - наибольшим, - наименьшим.

Наибольшее . Наименьшие значения 2, 3, 4 нужно распределить между выражениями , и . Проверим все варианты.

Пусть . Тогда:

Пусть . Тогда:

Пусть . Тогда:

Пусть . Тогда:

Пусть . Тогда:

Пусть . Тогда:

Наименьшее значение равно 1/3.

ответ: 1/3

Объяснение:

1.

а) 21a>21b; б) -3,2a<-3,2b; в) a+8>b+8

2.

а) (x+7)²>x(x+14)

x²+14x+49>x²+14x

x²+14x+49-x²-14x>0; 49>0⇒x∈(-∞; +∞)

б) b²+5≥10(b-2)

b²+5≥10b-20

b²+5-10b+20≥0

b²-10b+25≥0

Допустим:

b²-10b+25=0; D=100-100=0

b=10/2=5

При b<5: b=0; 0²+5≥10(0-2); 5>-20⇒неравенство выполняется.

При b>5: b=10; 10²+5≥10(2-10); 105>-80⇒неравенство выполняется.

Следовательно, -∞<b<+∞⇒b∈(-∞; +∞).

3.

а) 3·3,1<3√10<3·3,2; 9,3<3√10<9,6

б) -3,1>-√10>-3,2

4.

а) 7,2·2=14,4; 8,4·2,5=42/5 ·5/2=21

Отсюда следует: 14,4<ab<21

б) -2·7,2+2=-14,4+2=-12,2; -2·8,4+2,5=-16,8+2,5=-14,3

Отсюда следует: -12,2>-2a+b>-14,3

в) 7,2/2=3,1; 8,4/2,5=3,36

Отсюда следует: 3,1<a/b<3,36

5.

Периметр прямоугольника: P=2(a+b)

2(1,5+3,2)=2·4,7=9,4; 2(1,6+3,2)=2·4,8=9,6

Отсюда следует: 9,4<2(a+b)<9,6

Площадь прямоугольника: S=ab

1,5·3,2=3/2 ·16/5=48/10=4,8; 1,6·3,2=8/5 ·16/5=128/25=5,12

Отсюда следует: 4,8<ab<5,12

6.

При a>0:

(a+2)/a +(a+2)/2≥4

2a+4+a²+2a≥8a

a²+4a+4-8a≥0

a²-4a+4≥0; D=16-16=0

a=4/2=2

При a>0: a=1; (1+2)/1 +(1+2)/2≥4; 3 +3/2≥4; 4,5>4⇒неравенство выполняется.

При a<0: a=-1; (-1+2)/(-1) +(-1+2)/2≥4; -1 +1/2≥4; -0,5<4⇒неравенство не выполняется.

При a>2: a=10; (10+2)/10 +(10+2)/2≥4; 1,2+6≥4; 7,2>4⇒неравенство выполняется.

Следовательно, при a>0 неравенство выполняется, где a∈(0; +∞).