Все натуральные числа представимы в одном из видов 5k, 5k +-1, 5k + 2, тогда квадраты дают остатки 0, 1 и 4 при делении на 5. 65 делится на 5, тогда, чтобы получился полный квадрат, необходимо, чтобы 2^n давало остаток 0, 1 или 4 при делении на 5.
Вычисляем остатки от деления на 5 степеней двойки: 2^1 = 2 = 2 (mod 5) — неподходящий остаток 2^2 = 4 = 4 (mod 5) 2^3 = 8 = 3 (mod 5) — неподходящий остаток 2^4 = 16 = 1 (mod 5) 2^5 = 32 = 2 (mod 5) — такой же остаток, что и у 2^1, ...
Так как остаток при делении степени на 5 зависит только от остатка при делении на 5 предыдущей степени, то из того, что 2^1 и 2^5 дают одинаковые остатки, следует, что последовательность остатков периодична с периодом 4. Значит, так как при показателях, меньших 5, подходили только степени с чёётным показателем, то можно сделать вывод, что n чётно, n = 2m.
1). Отсчет углов ведем от цифры 12. 8 ч 20 мин = 8 1/3 ч
За 1 час часовая стрелка перемещается по кругу на: 360 : 12 = 30° Тогда за 8 1/3 часа поворот часовой стрелки составит: 30 * 8 1/3 = 250° Минутная стрелка за 20 минут = 1/3 часа повернется на угол: 360 * 1/3 = 120° Меньший угол между стрелками: 250 - 120 = 130° Больший, соответственно: 360 - 130 = 230°
ответ: 130°; 230°.
2). Через 4 часа. По 1 часу до пункта назначения, плюс 2 часа там, плюс еще час до встречи на середине дистанции.
3). Не более 4 км. В случае, если школа расположена на отрезке, соединяющем дома Маши и Вити, то максимальное расстояние между их домами - 4 км. В случае, если Витя и Маша живут по одну сторону от школы, то минимальное расстояние между их домами - 2 км.
Вычисляем остатки от деления на 5 степеней двойки:
2^1 = 2 = 2 (mod 5) — неподходящий остаток
2^2 = 4 = 4 (mod 5)
2^3 = 8 = 3 (mod 5) — неподходящий остаток
2^4 = 16 = 1 (mod 5)
2^5 = 32 = 2 (mod 5) — такой же остаток, что и у 2^1,
...
Так как остаток при делении степени на 5 зависит только от остатка при делении на 5 предыдущей степени, то из того, что 2^1 и 2^5 дают одинаковые остатки, следует, что последовательность остатков периодична с периодом 4. Значит, так как при показателях, меньших 5, подходили только степени с чёётным показателем, то можно сделать вывод, что n чётно, n = 2m.
2^(2m) + 65 = k^2
k^2 - (2^m)^2 = 65
(k + 2^m)(k - 2^m) = 65
65 можно разложить на два множителя следующими Получаем два возможных варианта:
1) k + 2^m = 65, k - 2^m = 1
Вычитаем из первого уравнения второе, получаем 2 * 2^m = 64, m = 5, n = 10 (тогда 2^10 + 65 = 1089 = 33^2)
2) k + 2^m = 13, k - 2^m = 5
2 * 2^m = 8
m = 2
n = 4 (в этом случае 2^n + 65 = 81 = 9^2).
ответ. при n = 4 и n = 10.
8 ч 20 мин = 8 1/3 ч
За 1 час часовая стрелка перемещается по кругу на:
360 : 12 = 30°
Тогда за 8 1/3 часа поворот часовой стрелки составит:
30 * 8 1/3 = 250°
Минутная стрелка за 20 минут = 1/3 часа повернется на угол:
360 * 1/3 = 120°
Меньший угол между стрелками:
250 - 120 = 130°
Больший, соответственно:
360 - 130 = 230°
ответ: 130°; 230°.
2). Через 4 часа.
По 1 часу до пункта назначения, плюс 2 часа там,
плюс еще час до встречи на середине дистанции.
3). Не более 4 км.
В случае, если школа расположена на отрезке, соединяющем
дома Маши и Вити, то максимальное расстояние между их
домами - 4 км. В случае, если Витя и Маша живут по одну
сторону от школы, то минимальное расстояние между их
домами - 2 км.