В 25.7—25.9 постройте на разных чертежах графики данных
функций. Для функции, содержащей модуль, укажите область
определения; область значений; промежутки монотонности; точ-
ки экстремума и экстремумы функции.
25.7
О
а) у = х2 – 2х и у = х2 – 2|х|;
б) у = х2 + 4х – 5 и у = х2 + 4|х| – 5;
в) у = х2 – 2x – 3 и у = х2 – 2|x| – 3;
у = -2х2 + 8х и у = - 2х2 + 8|х|.​

Добрый день! Рассмотрим каждую функцию по отдельности.

25.7 - а) y = x² - 2x и y = x² - 2|x|

Для начала, определим область определения функций. Область определения - это множество всех допустимых значений переменной. То есть, мы ищем значения x, при которых функции определены и имеют смысл.

В первой функции, y = x² - 2x, не существует никаких ограничений для значения x. Функция определена для всех действительных чисел.

Во второй функции, y = x² - 2|x|, мы имеем модуль |x|. Значит, он может равняться нулю или быть положительным. Таким образом, область определения - это все действительные числа, кроме х=0.

Теперь, рассмотрим область значений функций. Область значений - это множество всех возможных значений функции.

В первой функции, y = x² - 2x, у нас нет ограничений, и функция может принимать любые действительные значения.

Во второй функции, y = x² - 2|x|, модуль |x| всегда дает неотрицательное значение. Значит, функция может принимать любые неотрицательные значения, т.е. область значений - это все действительные числа, большие или равные нулю.

Теперь рассмотрим промежутки монотонности функций. Промежуток монотонности - это участок графика функции, на котором функция либо возрастает, либо убывает.

В первой функции, y = x² - 2x, мы имеем параболу ветвями вверх. Парабола возрастает на интервале (-∞, 1] и убывает на интервале [1, +∞).

Во второй функции, y = x² - 2|x|, у нас также парабола, но на этот раз мы имеем модуль |x|, который может быть равен нулю. Поэтому, промежутки монотонности функции - это интервалы (-∞, 0], [0, +∞), где функция возрастает, и интервал (0, +∞), где функция убывает.

Точки экстремума - это точки, где функция достигает максимальных или минимальных значений. Для парабол в вершине у нас находятся экстремумы функции.

В первой функции, y = x² - 2x, мы имеем параболу, у которой экстремум находится в вершине параболы. Для нахождения координаты вершины параболы, используем формулу x = -b/2a. В данном случае, a=1 и b=-2. Подставляя значения, получаем x = -(-2)/2*1 = 1. Координаты вершины параболы: (1, -1).

Во второй функции, y = x² - 2|x|, вершина параболы смещена ниже оси x на 2. Поэтому, чтобы найти координаты вершины параболы, нужно прибавить 2 к координате вершины первой функции. Таким образом, вершина во второй функции будет иметь координаты (1, -3).

Надеюсь, что данное объяснение было понятным и подробным. Если у вас есть еще вопросы, не стесняйтесь задавать их.