У+ у – х = 70, т. е. 2у – х = 70. отсюда х = 2у – 70. когда мне было столько же лет, сколько вам сейчас, т. е. когда мне было у – х лет, вам было на х лет меньше (т. к. вы моложе меня на х лет) , т. е. у – х – х = у – 2х. мне сейчас в 2 раза больше, т. е. 2*(у – 2х) лет. с другой стороны мне сейчас у лет. получаем уравнение у = 2*(у – 2х) . у = 2у – 4х. у = 4х. подставим сюда х = 2у – 70. у = 4*(2у – 70). у = 8у – 280. 7у = 280. у = 40. ответ: 40 лет. проверка х = 2у – 70 = 2*40 – 70 = 10. вам сейчас 30 лет. 40 + 30 = 70.
Найдите два положительных числа, таких, что сумма их квадратов равна 300, а произведение одного из них на квадрат второго дает наибольшее значение
решение :
{ x > 0 , y > 0 , x² + y² =300 , f(x) = x*y² → max
{ x > 0 , y > 0 , y² =300 - x² , f(x) = x(300 - x²) → max
f(x) = x(300 - x²) =300x - x³ ;
f ' (x) =(300x - x³) ' = (300x ) ' - (x³) ' =300 - 3x² =3(100 - x²) =3(10- x) (10+x)
f '(x) " - " " + " " - "
(-10) (10)
f(x) (убывает) ↓ ↑ (возрастает) ↓ (убывает)
min max
x = 10 ⇒ y = √(300 -x²) = √(300 -10²) = √200 = 10√2 .
ответ : 10 ; 10√2 .