lg(ax) = 2lg(x+1) ⇔ lg(ax) = lg(x+1)² ⇔ ax = (x+1)² ⇔ ax = x²+2x+1 ⇔ x² + (2 -a)*x +1 =0 (2) Уравнение (2) имеет решение ,если D =(2-a)² - 4 = a² - 4a =a(a - 4) ≥ 0, т.е. , если a ∈ ( -∞; 0] ∪ [4 ; +∞). [0] [4] x₁ = (a - 2 - √(a² - 4a) ) /2 , * * * x₂ +1 = (a - √D) /2 * * * x₂ = (a - 2+√(a² - 4a) ) /2) . * * * x₂ +1 = (a + √D) /2 * * * При a = 0 ⇒ ax =0 (не выполняется неравенство ax > 0 системы ОДЗ) Уравнение (1) не имеет решение . --- При a = 4 ⇒ x₁ =x₂ =1. Уравнение (1) имеет единственное решение x₁ =x₂ =1 .
a ∈ ( -∞; 0 ) ∪ ( 4 ; +∞) . * * * * * * * * * * * * * * * * * a ∈ ( -∞ ; 0 ) * * * a < 0 * * * {x₁ + x₂ = a -2 < 0 , {x₁ * x₂ = 1 . Оба корня уравнения (2) отрицательны ,следовательно ax₁ > 0 и ax₂ > 0 , но x₁ +1 = (a - √(a²-4a) ) /2 < 0 x₂ +1 = (a + √(a²-4a) ) /2 > 0 Уравнение (1) имеет единственное решение x₂=(a -2+ √(a²-4a)) /2 .
a ∈ ( 4 ; +∞ ) * * * a > 4 * * * {x₁ + x₂ = a -2 > 2 , {x₁ * x₂ = 1 . Оба корня уравнения (2) положительны Уравнение (1) имеет два решения.
ответ: a ∈ [ 0 ; 4) ⇒ нет решения , a ∈ (-∞ ; 0) ∪ {4} ⇒одно решение: x =(a -2+ √(a²-4a)) /2 , a ∈ (4 ; +∞) ⇒ два решения: x₁ = (a -2 - √(a²-4a)) /2 и x₂ = (a -2+ √(a²-4a)) /2 .
решить уравнение lg(ax)=2lg(x+1) (1)
ОДЗ : { ax > 0 , x+1 > 0 .
lg(ax) = 2lg(x+1) ⇔ lg(ax) = lg(x+1)² ⇔ ax = (x+1)² ⇔ ax = x²+2x+1 ⇔
x² + (2 -a)*x +1 =0 (2)
Уравнение (2) имеет решение ,если D =(2-a)² - 4 = a² - 4a =a(a - 4) ≥ 0,
т.е. , если a ∈ ( -∞; 0] ∪ [4 ; +∞). [0] [4]
x₁ = (a - 2 - √(a² - 4a) ) /2 , * * * x₂ +1 = (a - √D) /2 * * *
x₂ = (a - 2+√(a² - 4a) ) /2) . * * * x₂ +1 = (a + √D) /2 * * *
При a = 0 ⇒ ax =0 (не выполняется неравенство ax > 0 системы ОДЗ) Уравнение (1) не имеет решение .
---
При a = 4 ⇒ x₁ =x₂ =1.
Уравнение (1) имеет единственное решение x₁ =x₂ =1 .
a ∈ ( -∞; 0 ) ∪ ( 4 ; +∞) .
* * * * * * * * * * * * * * * * *
a ∈ ( -∞ ; 0 ) * * * a < 0 * * *
{x₁ + x₂ = a -2 < 0 ,
{x₁ * x₂ = 1 .
Оба корня уравнения (2) отрицательны ,следовательно
ax₁ > 0 и ax₂ > 0 , но
x₁ +1 = (a - √(a²-4a) ) /2 < 0
x₂ +1 = (a + √(a²-4a) ) /2 > 0
Уравнение (1) имеет единственное решение x₂=(a -2+ √(a²-4a)) /2 .
a ∈ ( 4 ; +∞ ) * * * a > 4 * * *
{x₁ + x₂ = a -2 > 2 ,
{x₁ * x₂ = 1 . Оба корня уравнения (2) положительны
Уравнение (1) имеет два решения.
ответ: a ∈ [ 0 ; 4) ⇒ нет решения ,
a ∈ (-∞ ; 0) ∪ {4} ⇒одно решение: x =(a -2+ √(a²-4a)) /2 ,
a ∈ (4 ; +∞) ⇒ два решения: x₁ = (a -2 - √(a²-4a)) /2 и
x₂ = (a -2+ √(a²-4a)) /2 .
Определить промежутки монотонности функции, не используя производную функции.
y = (x² - x - 20)² - 18
=================================
Область определения функции D (y) = R
y = (x² - x - 20)² - 18
Квадратичная функция в квадратичной функции
y = f(z); z = g(x)
Чтобы найти промежутки монотонности квадратичной функции, нужно найти абсциссу вершины параболы.
x₁ = -4; x₂ = 5 - координаты вершин параболы
Таким образом, есть три точки, которые определяют промежутки монотонности функции y = (x² - x - 20)² - 18.
x₁ = -4; x₀ = 0,5; x₂ = 5
x ∈ (-∞; -4] - функция убывает : y(-5) > y(-4)
x ∈ [-4; 0,5] - функция возрастает : y(-4) < y(0)
x ∈ [0,5; 5] - функция убывает : y(1) > y(2)
x ∈ [5; +∞) - функция возрастает : y(5) < y(6)