В классе 9 учащихся посещают кружок по английскому языку, 10 учащихся-кружок по спорту, 12 учащихся-кружок по математике. В кружок английского языка и спорта ходят 5 школьников, в кружок спорта и математики-8 учащихся, а в кружок а,а, спорта и математики-3 ученика. Сколько учеников в классе?

1. Прежде всего, разобьем это выражение на множители:

n^4+2n^3+3n^2+2n=n*(n^3+2n^2+3*n+2)

Разделив столбиком многочлен n^3+2n^2+3*n+2 на (n+1), получаем (n^2+n+2). Т.е. исходный многочлен может быть представлен в следующем виде:

n^4+2n^3+3n^2+2n=n*(n+1)*(n^2+n+2)

2. Теперь рассмотрим 2 случая:

а). Пусть n - четное число, т.е. делится на 2 без остатка, тогда

n делится на 2 без остатка;

(n+1), будучи числом нечетным, не делится на 2 без остатка;

Теперь рассмотрим n^2+n+2:

n - четное, значит n^2 - тоже четное, и n^2+n - тоже четное, т.е. делится на 2 без остатка. Т.к. n^2+n уже делится на 2 без остатка, то n^2+n+2 также еще раз разделится на 2 без остатка => (n^2+n+2)/2=((n^2+n)/2) + 2/2=((n^2+n)/2)+1.

Получаем, что исходное выражение можно три раза разделить на 2, т.е. разделить на 8.

б). Пусть n - нечетное, т.е. не делится на 2 без остатка, тогда

n не делится на 2 без остатка;

(n+1), будучи числом четным, делится на 2 без остатка;

n - нечетное, значит n^2 - тоже нечетное, а n^2+n - уже четное, т.к. к нечетному n^2 прибавляем нечетное n. И аналогично, т.к. n^2+n уже делится на 2 без остатка, то n^2+n+2 также еще раз разделится на 2 без остатка.

Получаем, что исходное выражение можно три раза разделить на 2, т.е. разделить на 8.

Объяснение:

Задание 2.

а) Координату х=5 будут иметь все точки , лежащие  на прямой , которая параллельна оси ординат и проходит через т.А на оси абсцисс. Любая другая точка координатной плоскости имеет абсциссу отличную от х=5

б) Координату у=-3 будут иметь все точки , лежащие  на прямой , которая параллельна оси абсцисс и проходит через т.С на оси ординат. Любая другая точка координатной плоскости имеет ординату отличную от у=-3

рисунок 1 во вложении

Задание 3.

а) На координатной плоскости неравенство х ≥ 4  задаст полуплоскость , которая будет расположена правее прямой х=4. Все точки этой полуплоскости будут иметь абсциссу равную 4 и больше  

рисунок 2 во вложении

б) Двойное неравенство 0 ≤ у ≤ 5 задает на координатной плоскости две горизонтальные  полосы , которые имееют ординату 0 и 5  

рисунок 3 во вложении

Задание 4.

а) у = х;

найдем точки и построим график  

   х=0, у=0

   х=3 , у=3

   х=-3, у= -3

б) –3 ≤ х ≤ 3.

неравенство задает на координатной плоскости две вертикальные полосы, которые имею абсциссу 3 и -3

Изобразим множество точек на координатной плоскости

рисунок 4 во вложении

Задание 5

Решение во вложении

Задание 6

Если | x | ≤ 5 , значит    -5 ≤ х ≤ 5, т.е. х ϵ [-5 ; 5]

Отметим этот промежуток т.А и т.В  на координатной прямой ( рис. 5 во вложении)  

Отметим промежуток  –7 ≤ x ≤ 1 , т.е. х ϵ [ -7 ; 1] на координатной прямой т.С и т. D

Для того, чтобы определить  границы  промежутков [-5; 5] и [-7; 1] сравним левые  и правые границы этих промежутков. Поскольку -7 < -5, а 5 >1 , то искомое пересечение имеет вид:  х ϵ[-5; 1]