В квадрат, сторона которого равна 24 см, вписан другой квадрат, вершины которого являются серединами сторон первого квадрата, в этот квадрат вписан таким же образом другой квадрат, и т. д. (см. рис.).
Вычисли сумму площадей всех квадратов?Площадь наибольшего квадрата равна?Знаменатель равен?сторона третьего по порядку квадрата равна?
Для решения этой задачи есть несколько подходов. Я расскажу один из них.
Давайте начнем с наибольшего квадрата. Пусть сторона этого квадрата равна S. Мы знаем, что он вписан в следующий по порядку квадрат, сторона которого равна 24 см. Значит, диагональ большего квадрата равна 24 см. Так как диагональ квадрата равна S * √2, где S - его сторона, то получаем уравнение:
S * √2 = 24.
Чтобы найти S, разделим обе части уравнения на √2:
S = 24 / √2.
Чтобы выразить S в корне, умножим числитель и знаменатель на √2:
S = 24√2 / (√2 * √2) = 24√2 / 2 = 12√2.
Таким образом, сторона наибольшего квадрата равна 12√2 см. Теперь можем вычислить его площадь:
S^2 = (12√2)^2 = 144 * 2 = 288.
Следующий по порядку квадрат имеет сторону равную половине стороны предыдущего квадрата, то есть 12√2 / 2 = 6√2 см. Его площадь равна:
(6√2)^2 = 36 * 2 = 72.
Аналогично, сторона следующего квадрата равна 6√2 / 2 = 3√2 см. Площадь этого квадрата равна:
(3√2)^2 = 9 * 2 = 18.
Мы можем продолжать нашу последовательность бесконечно, создавая все более маленькие квадраты. Важно заметить, что сторона каждого нового квадрата равна половине диагонали предыдущего квадрата, которая в свою очередь равна двойному отношению стороны предыдущего квадрата к диагонали квадрата 24 см.
Сумма площадей всех квадратов будет равна сумме бесконечного геометрического ряда, где первый член равен площади наибольшего квадрата (288), а знаменатель равен отношению стороны меньшего квадрата к стороне большего квадрата, то есть (6√2 / 12√2) = 1/2.
Формула для суммы бесконечного геометрического ряда:
S = a / (1 - r),
где S - сумма ряда, a - первый член ряда, r - знаменатель.
В нашем случае:
S = 288 / (1 - 1/2) = 288 / (1/2) = 288 * 2 = 576.
Таким образом, сумма площадей всех квадратов равна 576 квадратных сантиметров.
Наибольший квадрат имеет площадь 288 квадратных сантиметров.
Знаменатель этого бесконечного ряда равен 1/2.
Сторона третьего по порядку квадрата равна 3√2 сантиметра.