В сигнализатор поступают сигналы от двух устройств, причем поступление каждого из сигналов не зависит друг от друга, в любой промежуток времени длительностью 2,5 часа. Сигнализатор срабатывает, если интервал между моментами поступления сигналов менее 0,25 часа. Найти вероятность того, что сигнализатор сработает в течение 2,5 часов, если каждое из устройств пошлет по одному сигналу. Решите плс
Шаг 1: Определим количество возможных интервалов между поступлениями сигналов.
Максимальная длительность одного интервала между сигналами составляет 0,25 часа. Зная, что каждый интервал имеет длительность 2,5 часа, мы можем разделить длительность на интервал: 2,5 ч / 0,25 ч = 10. То есть у нас есть 10 возможных интервалов.
Шаг 2: Определим количество ситуаций, когда сигнализатор сработает.
Сигнализатор будет срабатывать, если интервал между сигналами будет менее 0,25 часа. Инициатором каждого интервала может быть одно из двух устройств. Значит, для каждого интервала у нас есть две возможности. Так как у нас 10 интервалов, общее количество ситуаций будет равно 2^10, что составляет 1024.
Шаг 3: Определим количество благоприятных ситуаций.
Благоприятной считается ситуация, когда сигнализатор сработает. В нашем случае, чтобы сигнализатор сработал, необходимо, чтобы произошла хотя бы одна из благоприятных ситуаций: поступление сигнала от первого устройства на коротком интервале или поступление сигнала от второго устройства на коротком интервале. Таким образом, мы должны просуммировать количество благоприятных ситуаций для каждого устройства.
Для первого устройства, количество благоприятных ситуаций можно найти, используя формулу комбинаторики: C(10, 1). То есть мы можем выбрать одно из 10 интервалов для первого устройства, а остальные интервалы будут заняты вторым устройством.
Аналогично, для второго устройства, количество благоприятных ситуаций будет равно C(10, 1).
Шаг 4: Найдем вероятность того, что сигнализатор сработает.
Вероятность события равна отношению числа благоприятных ситуаций к общему числу ситуаций.
Для нашего случая: вероятность = количество благоприятных ситуаций / общее количество ситуаций.
То есть, P = (C(10, 1) + C(10, 1)) / 1024.
Теперь мы можем приступить к вычислениям.
Шаг 1: Определяем количество возможных интервалов:
10
Шаг 2: Определяем количество ситуаций, когда сигнализатор сработает:
1024
Шаг 3: Определим количество благоприятных ситуаций:
C(10, 1) + C(10, 1) = 10 + 10 = 20
Шаг 4: Найдем вероятность того, что сигнализатор сработает:
P = 20 / 1024 ≈ 0,01953125
Итак, вероятность того, что сигнализатор сработает в течение 2,5 часов, составляет примерно 0,01953125 или около 1,95%.