Простыми преобразованиями эту задачу не решить, будем использовать арифметику остатков.
1-ое свойство, которое понадобится
То есть мы спокойно можем заменить каждое слагаемое сравнимым с ним по модулю m. То есть каждое слагаемое в нашей сумме будем рассматривать отдельно.
2-ое свойство, которое нам понадобится:
То есть довольно аналогичная вещь в произведении
На нашем примере все увидим
Находим остатки по модулю 31
Рассматриваем первое слагаемое. Просто двойка не годится, нам нужно найти ближайшее к 31 число, превосходящее его (иногда там в отрицательные числа залезаем, например, , но сейчас это не нужно), нам повезло, это 32
Учитываем, что , получаем
То есть остаток от деления первого слагаемое на 31 получился равным 10. Прекрасно, аналогично со вторым
Остаток 21, чудесно. Выполняем последний шаг.
То есть остаток от деления исходного числа на 31 равен 0, следовательно, исходное число делится на 31, что и требовалось доказать.
Простыми преобразованиями эту задачу не решить, будем использовать арифметику остатков.
1-ое свойство, которое понадобится
То есть мы спокойно можем заменить каждое слагаемое сравнимым с ним по модулю m. То есть каждое слагаемое в нашей сумме будем рассматривать отдельно.
2-ое свойство, которое нам понадобится:
То есть довольно аналогичная вещь в произведении
На нашем примере все увидим
Находим остатки по модулю 31
Рассматриваем первое слагаемое. Просто двойка не годится, нам нужно найти ближайшее к 31 число, превосходящее его (иногда там в отрицательные числа залезаем, например,
, но сейчас это не нужно), нам повезло, это 32
Учитываем, что
, получаем
То есть остаток от деления первого слагаемое на 31 получился равным 10. Прекрасно, аналогично со вторым
Остаток 21, чудесно. Выполняем последний шаг.
То есть остаток от деления исходного числа на 31 равен 0, следовательно, исходное число делится на 31, что и требовалось доказать.
Во-первых, если функция имеет неустранимый разрыв 2 рода, то она не ограничена.
Например, дроби при знаменателе, равном 0, или логарифм при числе меньше 0.
Если таких разрывов нет, тогда второй шаг.
Нужно проверить её пределы на +oo и - oo.
Если lim(x->-oo) y(x) = a (какому-то числу), то функция y(x) ограничена снизу.
Если lim(x->+oo) y(x) = a, то функция ограничена сверху.
Если оба предела равны oo, тогда смотрим на знаки.
Если lim(x->-oo) y(x) = lim(x->+oo) y(x) = +oo, то функция ограничена снизу.
Например, парабола y=ax^2+bx+c при а > 0.
Если наоборот, оба предела равны -oo, то функция ограничена сверху.
Например, та же парабола при а < 0.
В обоих случаях парабола ограничена в своей вершине.
И, наконец, если разрывов нет и пределы равны oo с разными знаками, то функция не ограничена.