В торговом центре два одинаковых автомата продают шоколадные батон-
чики. Вероятность того, что к концу дня в каждом одном из автоматов батон-
чики закончатся, равна 0,2. Вероятность того, что батончики закончатся в
обоих автоматах, равна 0,07. Найдите вероятность того, что к концу дня:
а) батончики закончатся только в первом автомате;
б) батончики закончатся только в одном автомате, а в другом останутся;
в) батончики останутся в обоих автоматах.
Для решения данной задачи воспользуемся формулой условной вероятности.
Пусть А - событие "батончики заканчиваются в первом автомате",
B - событие "батончики заканчиваются во втором автомате".
Тогда по формуле полной вероятности:
P(A) = P(A|B) * P(B) + P(A|¬B) * P(¬B),
где P(A|B) - вероятность события А при условии наступления события В,
P(B) - вероятность события В,
P(A|¬B) - вероятность события А при условии, что событие В не наступило (¬B),
P(¬B) - вероятность события ¬B (событие, противоположное В).
Теперь перейдем к решению поставленных вопросов:
а) Найдем вероятность того, что батончики закончатся только в первом автомате.
Искомая вероятность равна P(A|¬B). Зная, что событие А и событие В несовместны (невозможно, чтобы батончики закончились одновременно в обоих автоматах), можем записать:
P(A|¬B) = P(A) - P(А и В) = 0.2 - 0.07 = 0.13.
Следовательно, вероятность того, что батончики закончатся только в первом автомате, равна 0.13.
б) Найдем вероятность того, что батончики закончатся только в одном автомате, а в другом останутся.
Искомая вероятность равна P(A|¬B) + P(В|¬A). Запишем:
P(B|¬A) = P(B) - P(А и В) = 0.2 - 0.07 = 0.13.
Так как ситуации, когда батончики заканчиваются только в первом автомате и только во втором автомате, взаимоисключающие, можем записать:
P(A|¬B) + P(В|¬A) = P(A и ¬B) + P(¬А и B) = P(¬(A и В)) = 1 - P(A и В) = 1 - 0.07 = 0.93.
Следовательно, вероятность того, что батончики закончатся только в одном автомате, а в другом останутся, равна 0.93.
в) Найдем вероятность того, что батончики останутся в обоих автоматах.
Искомая вероятность равна P(¬A и ¬B). Запишем:
P(¬A и ¬B) = 1 - P(A или B) = 1 - (P(A) + P(B) - P(A и B)) = 1 - (0.2 + 0.2 - 0.07) = 0.67.
Следовательно, вероятность того, что батончики останутся в обоих автоматах, равна 0.67.
Таким образом, мы нашли вероятность того, что к концу дня батончики закончатся только в первом автомате (0.13), батончики закончатся только в одном автомате, а в другом останутся (0.93) и батончики останутся в обоих автоматах (0.67).