4. Основные понятия математической статистики. Генеральная совокупность и выборка. Статистическое распределение (вариационный ряд). Гистограмма. Полигон частот.
Математическая статистика – это раздел математики, изучающий приближенные методы отыскания законов распределения и числовых характеристик по результатам эксперимента.
Генеральная совокупность – это множество всех мыслимых значений наблюдений (объектов), однородных относительно некоторого признака, которые смогли быть сделаны.
Выборка – это совокупность случайно отобранных наблюдений (объектов) для непосредственного изучения из генеральной совокупности.
Статистическое распределение – это совокупность вариант xi и соответствующих им частот ni.
Гистограмма частот – это ступенчатая фигура, состоящая из смежных прямоугольников, построенных га оной прямой, основания которых одинаковы и равны ширине класса, а высота равна или частоте попадания в интервал ni или относительной частоте ni/n. Ширину интервала i можно определить по формуле Стерджеса:
I=(xmax-xmin)/(1+3,32lgn),
Где xmax – максимальное; xmin – минимальное значение вариант, а их разность носит название вариационный размах; n – объем выборки.
Полигон частот – ломаная линия, отрезки которой соединяют точки с координатами xi, ni.
5. Характеристики положения (мода, медиана, выборочное среднее) и рассеяния (выборочная дисперсия и выборочное среднее квадратическое отклонение).
Мода (Мо) – это такое значение варианты, что предшествующее и следующее за ним значения имеют меньшие частоты встречаемости.
Для одномодальных распределений мода – это наиболее часто встречающаяся варианта в данной совокупности.
Для определения моды интервальных рядов служит формула:
M0=xниж+i*((n2-n1)/(2n2-n1+n3)),
где хниж – нижняя граница модального класса, т.е. класса с наибольшей частотой встречаемости n2; n2 – частота модального класса; n1 – частота класса, предшествующего модальному; n3 – частота класса, следующего за модальным; i – ширина классового интервала.
Медиана (Ме)- это значение признака. Относительно которого ряд распределения делится на 2 равные по объему части.
Выборочная средняя – это среднее арифметическое значение вариант статистического ряда
Выборочная дисперсия – среднее арифметическое квадратов отклонения вариант от их среднего значения:
Среднее квадратическое отклонение – это квадратный корень из выборочной дисперсии:
Sв=√(Sв2)
6. Оценка параметров генеральной совокупности по ее выборке (точечная и интервальная). Доверительный интервал и доверительная вероятность.
Числовые значения, характеризующие генеральную совокупность, называются параметрами.
Статистическое оценивание может выполняться двумя :
1)точечная оценка – оценка, которая дается для некоторой определенной точки;
2)интервальная оценка – по данным выборки оценивается интервал, в котором лежит истинное значение с заданной вероятностью.
Точечная оценка – это оценка, которая определяется одним числом. И это число определяется по выборке.
Точечная оценка называется состоятельной, если при увеличении объема выборки выборочная характеристика стремится к соответствующей характеристике генеральной совокупности.
Точечная оценка называется эффективной, если она имеет наименьшую дисперсию выборочного распределения по сравнению с другими аналогичными оценками.
Точечную оценку называют несмещенной, если ее математическое ожидание равно оценивающему параметру при любом объеме выборки.
Несмещенной оценкой генеральной средней (математического ожидания) служит выборочная средняя в:
в=ini,
где xi – варианты выборки; ni – частота встречаемости вариант xi; n – объем выборки.
Интервальная оценка – это числовой интервал, который определяется двумя числами – границами интервала, содержащий неизвестный параметр генеральной совокупности.
Доверительный интервал – это интервал, в котором с той или иной заранее заданной вероятностью находится неизвестный параметр генеральной совокупности.
Доверительная вероятность p – это такая вероятность, что событие вероятности (1-р) можно считать невозможным. α=1-р – это уровень значимости. Обычно в качестве доверительных вероятностей используют вероятности, близкие к 1. Тогда событие, что интервал накроет характеристику, будет практически достоверным. Это р≥0,95, р≥0,99, р≥0,999.
Для выборки малого объема (n<30) нормально распределенного количественного признака х доверительный интервал может иметь вид:
в-mt≤≤в+mt (р≥0,95),
+где – генеральное среднее;в – выборочное среднее; t – нормированный показатель распределения Стьюдента с(n-1) степенями свободы, который определяется вероятностью попадания генерального параметра в данный интервал; m – ошибка выборочной средней.
4. Основные понятия математической статистики. Генеральная совокупность и выборка. Статистическое распределение (вариационный ряд). Гистограмма. Полигон частот.
Математическая статистика – это раздел математики, изучающий приближенные методы отыскания законов распределения и числовых характеристик по результатам эксперимента.
Генеральная совокупность – это множество всех мыслимых значений наблюдений (объектов), однородных относительно некоторого признака, которые смогли быть сделаны.
Выборка – это совокупность случайно отобранных наблюдений (объектов) для непосредственного изучения из генеральной совокупности.
Статистическое распределение – это совокупность вариант xi и соответствующих им частот ni.
Гистограмма частот – это ступенчатая фигура, состоящая из смежных прямоугольников, построенных га оной прямой, основания которых одинаковы и равны ширине класса, а высота равна или частоте попадания в интервал ni или относительной частоте ni/n. Ширину интервала i можно определить по формуле Стерджеса:
I=(xmax-xmin)/(1+3,32lgn),
Где xmax – максимальное; xmin – минимальное значение вариант, а их разность носит название вариационный размах; n – объем выборки.
Полигон частот – ломаная линия, отрезки которой соединяют точки с координатами xi, ni.
5. Характеристики положения (мода, медиана, выборочное среднее) и рассеяния (выборочная дисперсия и выборочное среднее квадратическое отклонение).
Мода (Мо) – это такое значение варианты, что предшествующее и следующее за ним значения имеют меньшие частоты встречаемости.
Для одномодальных распределений мода – это наиболее часто встречающаяся варианта в данной совокупности.
Для определения моды интервальных рядов служит формула:
M0=xниж+i*((n2-n1)/(2n2-n1+n3)),
где хниж – нижняя граница модального класса, т.е. класса с наибольшей частотой встречаемости n2; n2 – частота модального класса; n1 – частота класса, предшествующего модальному; n3 – частота класса, следующего за модальным; i – ширина классового интервала.
Медиана (Ме)- это значение признака. Относительно которого ряд распределения делится на 2 равные по объему части.
Выборочная средняя – это среднее арифметическое значение вариант статистического ряда
Выборочная дисперсия – среднее арифметическое квадратов отклонения вариант от их среднего значения:
Среднее квадратическое отклонение – это квадратный корень из выборочной дисперсии:
Sв=√(Sв2)
6. Оценка параметров генеральной совокупности по ее выборке (точечная и интервальная). Доверительный интервал и доверительная вероятность.
Числовые значения, характеризующие генеральную совокупность, называются параметрами.
Статистическое оценивание может выполняться двумя :
1)точечная оценка – оценка, которая дается для некоторой определенной точки;
2)интервальная оценка – по данным выборки оценивается интервал, в котором лежит истинное значение с заданной вероятностью.
Точечная оценка – это оценка, которая определяется одним числом. И это число определяется по выборке.
Точечная оценка называется состоятельной, если при увеличении объема выборки выборочная характеристика стремится к соответствующей характеристике генеральной совокупности.
Точечная оценка называется эффективной, если она имеет наименьшую дисперсию выборочного распределения по сравнению с другими аналогичными оценками.
Точечную оценку называют несмещенной, если ее математическое ожидание равно оценивающему параметру при любом объеме выборки.
Несмещенной оценкой генеральной средней (математического ожидания) служит выборочная средняя в:
в=ini,
где xi – варианты выборки; ni – частота встречаемости вариант xi; n – объем выборки.
Интервальная оценка – это числовой интервал, который определяется двумя числами – границами интервала, содержащий неизвестный параметр генеральной совокупности.
Доверительный интервал – это интервал, в котором с той или иной заранее заданной вероятностью находится неизвестный параметр генеральной совокупности.
Доверительная вероятность p – это такая вероятность, что событие вероятности (1-р) можно считать невозможным. α=1-р – это уровень значимости. Обычно в качестве доверительных вероятностей используют вероятности, близкие к 1. Тогда событие, что интервал накроет характеристику, будет практически достоверным. Это р≥0,95, р≥0,99, р≥0,999.
Для выборки малого объема (n<30) нормально распределенного количественного признака х доверительный интервал может иметь вид:
в-mt≤≤в+mt (р≥0,95),
+где – генеральное среднее;в – выборочное среднее; t – нормированный показатель распределения Стьюдента с(n-1) степенями свободы, который определяется вероятностью попадания генерального параметра в данный интервал; m – ошибка выборочной средней.
Объяснение: