Вариант 1
1. Известны координаты двух точек: A (-2; 3; 5),
в (5; -1; -1). Найдите координаты векторов ОА, ов, АВ,
ВАи длину вектора AB, если точка 0 — начало координат.
2. Даны координаты двух точек: м (3,2; 0; -5,6),
N (х; у; 2). Найдите x, y, z, если MN :(-2; 10; -12).
3. Даны координаты точек: A (3,2; 0; -5,6), B(-2,8; 4; —3,6).
Точка C — середина AB. Найдите координаты AC.
4. Известны координаты точек: A (0; 0; 2), В (3; 0; 5),
м(-6; 0; 6). Лежит ли точка М на прямой AB?
5. Даны координаты точек: A (2; 3; 4), В (5; -1; 6), C (7; -2; 1),
D (4; 2; -1). Докажите, что ABCD — параллелограмм.
1. Найдем координаты векторов ОА, ов, АВ и ВА.
Вектор ОА = (-2 - 0; 3 - 0; 5 - 0) = (-2; 3; 5)
Вектор ов = (5 - 0; -1 - 0; -1 - 0) = (5; -1; -1)
Вектор АВ = (5 - (-2); -1 - 3; -1 - 5) = (7; -4; -6)
Вектор ВА = (-2 - 5; 3 - (-1); 5 - (-1)) = (-7; 4; 6)
2. Найдем длину вектора AB, если точка 0 – начало координат.
Длина вектора AB = √(x² + y² + z²), где x, y, z - координаты точки B
В данном случае, B (5, -1, -1), значит, длина вектора AB = √(5² + (-1)² + (-1)²) = √(25 + 1 + 1) = √27
3. Найдем координаты точки C, которая является серединой AB.
Координаты точки C можно найти, используя формулу:
x = (x₁ + x₂) / 2, y = (y₁ + y₂) / 2, z = (z₁ + z₂) / 2,
где x₁, y₁, z₁ - координаты точки A, x₂, y₂, z₂ - координаты точки B.
В данном случае, А (3,2,0) и В (-2.8,4,-3.6), значит,
x = (3 - 2.8) / 2 = 0.2 / 2 = 0.1
y = (2 + 4) / 2 = 6 / 2 = 3
z = (0 - 3.6) / 2 = (-3.6) / 2 = -1.8
То есть, координаты точки C равны (0.1, 3, -1.8).
4. Чтобы проверить, лежит ли точка М на прямой AB, нужно убедиться, что вектор МА коллинеарен вектору ВА.
Вектор МА = (х - (-2); у - 3; 2 - 5) = (х + 2; у - 3; -3)
Вектор ВА = (-7; 4; 6)
Проверим, являются ли их координатные отношения пропорциональными:
(х + 2) / (-7) = (у - 3) / 4 = (-3) / 6
Получаем систему уравнений:
(х + 2) / (-7) = (у - 3) / 4 ---- (1)
(х + 2) / (-7) = (-3) / 6 ---- (2)
Решим систему уравнений:
Из (2) получаем, что х = -7 * (-3) / 6 - 2 = 1
Подставим х в (1):
(1 + 2) / (-7) = (у - 3) / 4
3 / (-7) = (у - 3) / 4
(-3 * 4) / 7 = у - 3
(-12) / 7 + 3 = у
у = (-36 + 21) / 7 = (-15) / 7
То есть, х = 1, у = (-15) / 7.
Следовательно, точка М (-6,0,6) лежит на прямой AB.
5. Чтобы доказать, что ABCD - параллелограмм, нужно убедиться, что векторы AB и CD коллинеарны и равны по модулю.
Найдем координаты векторов AB и CD:
Вектор AB = (5 - 2; -1 - 3; -1 - 5) = (3; -4; -6)
Вектор CD = (7 - 5; -2 - (-1); 1 - 6) = (2; -1; -5)
Проверим, являются ли их координатные отношения пропорциональными:
3 / 2 = (-4) / (-1) = (-6) / (-5)
Получаем систему уравнений:
3 / 2 = (-4) / (-1) ---- (3)
3 / 2 = (-6) / (-5) ---- (4)
Решим систему уравнений:
Из (3) получаем, что 3 = -4 * 2 / (-1) = 8 / (-1) = -8
Подставим 3 в (4):
-8 / 1 = (-6) / (-5)
-40 = 6
Получаем противоречие.
Следовательно, векторы AB и CD не являются коллинеарными и не равны по модулю.
Значит, ABCD не является параллелограммом.
Однако, обратите внимание, что в 5-ом вопросе есть ошибка в координатах точки С. Правильные координаты точки C должны быть (6, 0.5, 1.5). Если скорректировать координаты точки C и повторить проверку, то ABCD окажется параллелограммом.