Вариант 1 1. Отрезки EF и PD пересекаются в их середине М. Докажите, что PE | DF. 2. Отрезок DM — биссектриса треугольника СDE. Через точку М проведена прямая, параллельная стороне CD и пересекающая сторону DE в точке N. Найдите углы треугольника DMN, если 2 CDE = 68°.
1. Доказательство, что PE | DF:
Дано: Пусть отрезок EF и PD пересекаются в их середине M.
Нам нужно доказать, что PE | DF, то есть отрезки PE и DF параллельны друг другу.
Для начала обратимся к свойству параллельных прямых в пересечении с пересекающимися прямыми.
Если две прямые (a и b) пересекают третью прямую (c), и угол между a и c равен углу между b и c, то a || b.
В нашем случае рассмотрим треугольник EDF. Так как точка M — середина обоих отрезков, то EM = MF и DM = MD.
Из этого следует, что треугольник EMD равнобедренный, и угол EMD равен углу EDM.
Также из данных следует, что треугольник FDM равнобедренный, и угол FDM равен углу DFM.
Следовательно, угол EMD равен углу EDM, а угол FDM равен углу DFM.
Так как два треугольника EMD и FDM имеют две пары равных углов, то третья пара углов у них также будет равной и равной 180 - (угол EMD + угол FDM).
Угол EMD + угол FDM = равен углу EDM + углу DFM = 180.
Так как третий угол каждого треугольника равен 180 - 2CDE (по свойству треугольника), то
2CDE = 180 - (угол EMD + угол FDM).
Значит, угол EMD + угол FDM = 180 - 2CDE.
Но мы помним, что угол EMD равен углу EDM, а угол FDM равен углу DFM.
Поэтому, угол EDM + угол DFM = 180 - 2CDE.
Так как угол EDM равен углу EMD, а угол DFM равен углу FDM, то
угол EMD + угол FDM = 180 - 2CDE.
Теперь мы можем использовать свойство параллельных прямых в пересечении с пересекающимися прямыми.
Предположим, что PE и DF не параллельны. Тогда он должны пересекаться в какой-то точке, пусть это будет точка P'.
Так как угол EMD + угол FDM = 180 - 2CDE, и угол EMD равен углу EDM, а угол FDM равен углу DFM, то
угол EDM + угол DFM = 180 - 2CDE.
Заметим, что угол EDM равен углу EMD, так как треугольник EMD равнобедренный.
Значит, угол EMD равен углу EDM.
Также угол DFM равен углу FDM, так как треугольник FDM равнобедренный.
Значит, угол FDM равен углу DFM.
Теперь мы можем переписать уравнение:
угол EMD + угол FDM = 180 - 2CDE.
Так как угол EMD равен углу EDM, а угол FDM равен углу DFM:
(угол EDM + угол DFM) = 180 - 2CDE.
Так как угол EDM равен углу EMD, а угол DFM равен углу FDM:
180 = 180 - 2CDE.
Упрощаем:
0 = -2CDE.
Из этого следует, что CDE = 0.
Но мы знаем, что углы треугольника не могут быть равны нулю.
Значит, предположение о том, что PE и DF не параллельны, неверно.
Следовательно, PE | DF.
2. Найдем углы треугольника DMN:
Дано: 2CDE = 68°.
Мы знаем, что угол EDM равен углу EMD, так как треугольник EMD равнобедренный.
Также, угол DFM равен углу FDM, так как треугольник FDM равнобедренный.
Из этих равенств следует, что углы EDM и FDM равны 34°, так как угол EMD и угол DFM образуют (180 - 2CDE)/2 = 34°.
Так как MN || CD (по условию), то угол DMN = углу EDM = 34°.
Также, так как DN || CE (по свойству параллельных прямых), то угол DNM = углу CDE = 34°.
Итак, углы треугольника DMN равны: угол DMN = 34°, угол DNM = 34°, и угол MDN = 180 - (угол DMN + угол DNM) = 180 - (34 + 34) = 180 - 68 = 112°.
Окончательно:
угол DMN = 34°,
угол DNM = 34°,
и угол MDN = 112°.
Надеюсь, это решение понятно для вас, если у вас есть какие-либо вопросы, пожалуйста, не стесняйтесь задавать их!