Вариант 1. к. р. №5 1.Решить неполное квадратное уравнение: а) 5х² - 125 = 0; б) 3х² + 4х = 0. 2.Решить уравнение: а) х² + 6х – 7 = 0; б) 3х² + 7х + 2 = 0; в) х² - 3х + 1 = 0; г) х² - х + 3 = 0. 3.Составить приведенное квадратное уравнение, сумма корней которого равна числу 6, а произведение – числу 4. 4.Решить задачу. Одна из сторон прямоугольника на 7 см больше другой. Найти стороны прямоугольника, если его площадь равна 44 см². (Площадь прямоугольника равна произведению его длины на ширину). 5.Число (- 6) является корнем уравнения 2х² + в х – 6 = 0. Найдите второй корень уравнения и значение в. 6.При каком значении а уравнение 2х² + 4х + а = 0 имеет единственный корень?
1. Решение неполного квадратного уравнения:
а) Чтобы решить уравнение 5х² - 125 = 0, мы должны привести его к каноническому виду. Для этого мы переносим -125 на правую сторону уравнения и получаем 5х² = 125. Затем делим обе части уравнения на 5, и получаем х² = 25. Чтобы найти значение x, достаточно извлечь корень из обеих частей уравнения, и там будет два корня: x₁ = -5 и x₂ = 5.
б) В уравнении 3х² + 4х = 0, мы также можем привести его к каноническому виду. Для этого мы факторизуем общий множитель и получаем x(3х + 4) = 0. Здесь два множителя, x и (3х + 4), равны нулю вместе с каждым другим. Из первого множителя x = 0, а из второго множителя 3х + 4 = 0. Путем решения этого уравнения мы получаем x₁ = -4/3 .
2. Решение квадратных уравнений:
а) Уравнение х² + 6х – 7 = 0 находится в канонической форме, и его можно решить по формуле дискриминанта. Дискриминант D = b² - 4ac, где a = 1, b = 6 и c = -7. Подставив значения в формулу, получаем D = 6² - 4(1)(-7) = 36 + 28 = 64. Так как D > 0, у уравнения есть два действительных корня. Используя формулу корней, x = (-b ± √D) / (2a), мы получаем x₁ = (-6 + √64) / (2*1) = (-6 + 8) / 2 = 1 и x₂ = (-6 - √64) / (2*1) = (-6 - 8) / 2 = -7.
б) Уравнение 3х² + 7х + 2 = 0 также находится в канонической форме, и мы можем использовать формулу дискриминанта. Здесь a = 3, b = 7 и c = 2. Подставив значения в формулу, получаем D = 7² - 4(3)(2) = 49 - 24 = 25. Так как D > 0, у уравнения есть два действительных корня. Используя формулу корней, x₁ = (-7 + √25) / (2*3) = (-7 + 5) / 6 = -1/3 и x₂ = (-7 - √25) / (2*3) = (-7 - 5) / 6 = -4/3.
в) Уравнение х² - 3х + 1 = 0 находится в канонической форме. Дискриминант D = (-3)² - 4(1)(1) = 9 - 4 = 5. Поскольку D > 0, у уравнения есть два действительных корня. x = (-(-3) ± √5) / (2*1) = (3 ± √5) / 2. Мы не можем упростить корни дальше, поэтому ответ - x₁ = (3 + √5) / 2 и x₂ = (3 - √5) / 2.
г) Уравнение х² - х + 3 = 0 находится в канонической форме. Дискриминант D = (-1)² - 4(1)(3) = 1 - 12 = -11. Поскольку D < 0, у уравнения нет действительных корней.
3. Чтобы найти приведенное квадратное уравнение с суммой корней равной 6 и произведением, равным 4, нам следует использовать свойства квадратных уравнений. Пусть x₁ и x₂ будут корнями этого уравнения. Тогда сумма корней равна x₁ + x₂ = 6, а произведение корней равно x₁ * x₂ = 4. Мы можем записать уравнение в виде (x - x₁)(x - x₂) = 0, суммируем эти выражения и получаем x² - (x₁ + x₂)x + x₁ * x₂ = 0. Подставляя значения в уравнение, получаем x² - 6x + 4 = 0.
4. Для решения этой задачи нам нужно использовать формулу для нахождения площади прямоугольника. Площадь прямоугольника равна произведению его длины на ширину. Пусть длина прямоугольника равна x, тогда его ширина будет равна x + 7. Уравнение составляется следующим образом: x * (x + 7) = 44. Раскрывая скобки и перенося все члены на одну сторону, мы получаем квадратное уравнение x² + 7x - 44 = 0. Мы можем решить это уравнение, используя факторизацию, метод дискриминанта или другие методы. В результате мы найдем два возможных значения для x, а именно x₁ ≈ -10.22 и x₂ ≈ 3.22. Таким образом, длина прямоугольника будет примерно равна -10.22 см, а его ширина - примерно 3.22 см.
5. Так как число -6 является корнем уравнения 2х² + вх - 6 = 0, мы можем использовать это значение, чтобы найти второй корень и значение переменной в. Подставляя -6 в уравнение, мы получаем следующее: 2(-6)² + в(-6) - 6 = 0. Раскрывая скобки и упрощая выражение, выполняем следующие вычисления: 72 - 6в - 6 = 0. Подводя подобные члены и перенося все члены влево, мы получаем уравнение -6в + 66 = 0. Решаем это уравнение и находим, что в = 11. Таким образом, второй корень уравнения равен 11.
6. Уравнение 2х² + 4х + а = 0 имеет единственный корень, когда дискриминант равен нулю. Для того чтобы найти это значение a, мы должны приравнять дискриминант к нулю и решить полученное уравнение. Здесь a = ?, b = 4 и c = ?. Подставим значения в формулу дискриминанта и получаем 4² - 4(2)(?) = 0. Упрощая выражение, получаем 16 - 8? = 0. Перенося все члены на одну сторону, мы получаем -8? = -16. Делим обе части на -8 и находим, что ? = 2. Таким образом, при значении а = 2, уравнение 2х² + 4х + а = 0 имеет единственный корень.