Варифметической прогрессии а8=19,а12=31. найти сумму первых десяти членов этой прогрессии.

1.упростить выражение
а) (3x^2 +y)(2y-5x^2)=6x²y-15x^4+2y²-5x²y=x²y-15x^4+2y²
 б) (7x-1)(x^2-4x+2)=7x³-28x²+14x-x²+4x-2=7x³-29x²+18x-2
в) (a^2+b^2)(2a-b)-ab(b-a)=2a³-a²b+2ab²-b³-ab²+a²b=2a³+ab²-b³
г) -8p(p+3)(2-p^2)=(-8p²-24p)(2-p²)=-16p²+8p^4-48p+24p³
2. разложите на множители
а) 2x^5 +5x^4-2x^2-5x=2x²(x³-1)+5x(x³-1)=(x³-1)(2x²+5x)=x(2x+5)(x-1)(x²+x+1)
б) 3a-3b+(a-b)^2=3(a-b)+(a-b)(a+b)=(a-b)(3+a+b)
3. Докажите тождество
x^5+1=(x+1)(x^4-x^3+x^2-x+1)
(x+1)(x^4-x^3+x^2-x+1)=x^5-x^4+x³-x²+x+x^4-x³+x²-x+1=x^5+1
x^5+1=x^5+1

1) x^4 -4x³ +4x² -4  ≥ 0;
x²(x² -4x +4)  -4  ≥ 0;
(x(x-2))² -2²  ≥ 0 ;
(x(x-2) -2)(x(x-2) + 2) ≥0;
(x² -2x -2)(x² -2x +2)≥ 0;
т.к.  x² -2x+2 =(x-1)² +1 ≥1 >0,  
то x² -2x -2  ≥ 0   ;        [ (x-x₁)(x-x₂)   ≥ 0 ]  ***
( x  -1 + √5)(x  -1 -√5) ≥ 0 ;
x∈( - ∞ ; 1-√5] U [ 1+√5 ; ∞) .

          +                        -                    + 
1 -√5 1+√5


2) (2x² -x)² <1;
(2x² -x)² -1 <0  ;
(2x² -x -1)(2x² - x +1) <0 ;
 т.к. 2x² - x +1 =2(x-1/4)² +7/8 ≥7/8 >0;
 [ D =1² -4*2*1 = -7 <0;  2>0 ⇒ 2x² - x +1 >0. ] 
то 2x² -x -1 <0;
2(x+1/2)(x-1) <0 ;
x∈ (-1/2 ; 1).

2x² -x -1 = 0 ;
D =1²-4*2(-1) =9 =3² ;
x =(1+3)/(2*2) =1
x =(1-3)/(2*2) = -1/2 ;
2x² -x -1 =2(x+1/2) (x-1).

      +                      _                +
-1/2 1
x∈ (-1/2 ; 1).