Можно доказать несколькими По т. Фалеса: Если параллельные прямые отсекают на одной стороне угла равные отрезки, то они отсекают равные отрезки и на второй стороне угла.
Параллельные прямые DE и AC отсекают равные отрезки на стороне AB угла ABC, т.е. AD = DB. Значит на стороне BC они отсекают также равные отрезки BE = EC.
2) Из подобия треугольников. Так как DE ║ AC, то ΔABC подобен ΔDBE по двум углам: ∠B общий, ∠BDE = ∠BAC как соответствующие при DE ║ AC и секущей AB. Так как по условию AD = DB, то BD/AB = 1/2. Коэффициент подобия k = 1/2. ⇒ BE/BC = 1/2, ⇒ BC = 2*BE, тч. E является серединой отрезка ВС.
3) Проведем прямые BO ║AC и ON║AB.
DBON параллелограмм, так как его противолежащие стороны параллельны. ⇒ DB = EO. ADEN параллелограмм, так как его противолежащие стороны параллельны, так как AD=DB, то NE=EO.
ΔBEO = ΔNEC по второму признаку: ∠BEO = NEC вертикальные, ∠BOE = ∠ENC внутренние накрест лежащие при BO ║AC и секущей ON. OE = EN. Из равенства треугольников следует BE=EC. ( так доказывается т. Фалеса)
Задание решается методом интервалов:
1. (х² - 11)(15 - х²) ≥ 0
1) Находим нули
(х² - 11)(15 - х²) = 0
если
х = ±√15
х = ±√11
2) Отмечаем корни на координатной прямой (см. приложение)
Черными точками обозначаются числа, включающиеся в интервал, а белыми — исключающиеся из него.
3) Отмечаем знаки функций на координатной прямой (см. приложение)
Определяются методом подстановки чисел из интервала.
ответ: х ∍ [-√15;-√11] U [√11;√15]
Квадратные скобки говорят, что числа в них включаются в интервал, а круглые, что числа исключаются из него.
Остальное решается аналогично.
2. (х² - 6х + 5)(х + 8) > 0
(х² - 6х + 5)(х + 8) = 0
если
х = -8
…………………………(х² - 6х + 5)
…………………………D = 16
х = 5
х = 1
ответ: х ∍ (-8;1) U (5;+∞)
3. (х² - х + 11)(4 - х) ≥ 0
(х² - х + 11)(4 - х) = 0
если
х = 4
…………………………(х² - х + 11)
…………………………D = -43; D < 0
…………………………ветви параболы направлены вверх.
…………………………функция всегда положительная
ответ: х ∍ (-∞;4]
4. (х² + 2х + 14)(х² - 9) > 0
(х² + 2х + 14)(х² - 9) = 0
если
х = ±3
……………………………(х² + 2х + 14)
……………………………D = -52; D < 0
……………………………ветви параболы направлены вверх
……………………………функция всегда положительная
ответ: х ∍ (-∞;-3) U (3;+∞)
Можно доказать несколькими По т. Фалеса: Если параллельные прямые отсекают на одной стороне угла равные отрезки, то они отсекают равные отрезки и на второй стороне угла.
Параллельные прямые DE и AC отсекают равные отрезки на стороне AB угла ABC, т.е. AD = DB. Значит на стороне BC они отсекают также равные отрезки BE = EC.
2) Из подобия треугольников. Так как DE ║ AC, то ΔABC подобен ΔDBE по двум углам: ∠B общий, ∠BDE = ∠BAC как соответствующие при DE ║ AC и секущей AB. Так как по условию AD = DB, то BD/AB = 1/2. Коэффициент подобия k = 1/2. ⇒ BE/BC = 1/2, ⇒ BC = 2*BE, тч. E является серединой отрезка ВС.
3) Проведем прямые BO ║AC и ON║AB.
DBON параллелограмм, так как его противолежащие стороны параллельны. ⇒ DB = EO. ADEN параллелограмм, так как его противолежащие стороны параллельны, так как AD=DB, то NE=EO.
ΔBEO = ΔNEC по второму признаку: ∠BEO = NEC вертикальные, ∠BOE = ∠ENC внутренние накрест лежащие при BO ║AC и секущей ON. OE = EN. Из равенства треугольников следует BE=EC. ( так доказывается т. Фалеса)