Випадкова величина X розподілена рівномірно в діапазоні [A;B]. Знайти її функції щільності та розподілу імовірності, знайти математичне сподівання та дисперсію. 1. Випадкова величина X розподілена за законом Пуассона з параметром A, випадкова величина Y розподілена за тим же законом з параметром B. Ці випадкові величини незалежні. Знайти закон розподілу, математичне сподівання та дисперсію їх суми. 2. Випадкова величина X рівномірно розподілена в інтервалі [A;B]. Знайти щільність імовірності випадкової величини 2XY 3. Випадкова величина X розподілена за експоненційним законом з параметром 0,1·A, випадкова величина Y розподілена за тим же законом з параметром 0,05·B. Ці випадкові величини незалежні. Знайти закон розподілу, математичне сподівання та дисперсію їх добутку. 4. Випадкова величина X розподілена за експоненційним законом з параметром =0,05·A, випадкова величина Y розподілена за законом Пуассона з параметром B. Ці випадкові величини незалежні. Знайти закон розподілу, математичне сподівання та дисперсію їх суми. 5. Випадкова величина X рівномірно розподілена в інтервалі [A;B], випадкова величина Y розподілена за законом Пуассона з параметром B Ці випадкові величини незалежні. Знайти закон розподілу, математичне сподівання та дисперсію їх різниці. 6. Випадкова величина X рівномірно розподілена в інтервалі [A;B]. Знайти щільність імовірності випадкової величини 25XY . 7. Випадкова величина X розподілена рівномірно в [A, B].Знайти функції щільності та розподілу імовірності, знайти математичне сподівання та дисперсію випадкової величини XY2 . 8. Випадкова величина X розподілена за законом Пуасона з параметром A, випадкова величина Y розподілена за експоненційним законом з параметром =0,05·B. Ці випадкові величини незалежні. Знайти закон розподілу, математичне сподівання та дисперсію їх добутку.
9. Знайти: дисперсію та середнє квадратичне відхилення, функцію щільності випадкової величини X, розподіленої за експоненційним законом з параметром =0,05·A
1. Выведем формулу через производную: y = ax² + bx + c y' = 2ax + b + 0 = 2ax + b 2ax + b ≥ 0 2ax ≥ -b Если a > 0, то x ≥ -b/2a, значит, x = -b/2a - точка минимума. Как известно, в точке минимума функция принимает наименьшее значение. Если a < 0, то x ≤ -b/2a, значит, x = -b/2a - точка максимума. Как известно, в точке максимума функция принимает наибольшее значение.
2. Выделим полный квадрат: y = ax² + bx + c y = (ax² + bx) + c y = a(x² + bx/a) + c y = a(x² + 2bx/2a + b²/4a²) - b²/4a + c y = a(x + b/2a)² + (4ac - b²)/4a Квадратичную функцию можно представить в виде y = a(x - m)² + l В данном случае m = -b/2a, l = (4ac - b²)/4a. Если рассмотреть функцию y = a(x - m)² + l, то понятно, что если a > 0, то при x = m функция будет принимать наименьшее значение, а если a < 0, то при x = m она будет принимать наибольшее значение. Т.к. m = -b/2a, то при a > 0 и при x = -b/2a функция будет принимать наименьшее значение, при a < 0 и при x = -b/2a будет принимать наибольшее значение.
![Випадкова величина X розподілена рівномірно в діапазоні [A;B]. Знайти її функції щільності та розпод](/tpl/images/4678/9924/e7b0c.jpg)
y = ax² + bx + c
y' = 2ax + b + 0 = 2ax + b
2ax + b ≥ 0
2ax ≥ -b
Если a > 0, то x ≥ -b/2a, значит, x = -b/2a - точка минимума.
Как известно, в точке минимума функция принимает наименьшее значение.
Если a < 0, то x ≤ -b/2a, значит, x = -b/2a - точка максимума.
Как известно, в точке максимума функция принимает наибольшее значение.
2. Выделим полный квадрат:
y = ax² + bx + c
y = (ax² + bx) + c
y = a(x² + bx/a) + c
y = a(x² + 2bx/2a + b²/4a²) - b²/4a + c
y = a(x + b/2a)² + (4ac - b²)/4a
Квадратичную функцию можно представить в виде y = a(x - m)² + l
В данном случае m = -b/2a, l = (4ac - b²)/4a.
Если рассмотреть функцию y = a(x - m)² + l, то понятно, что если a > 0, то при x = m функция будет принимать наименьшее значение, а если a < 0, то при x = m она будет принимать наибольшее значение.
Т.к. m = -b/2a, то при a > 0 и при x = -b/2a функция будет принимать наименьшее значение, при a < 0 и при x = -b/2a будет принимать наибольшее значение.
1)y/y^2-9 - 3/9-y^2 = y /y^2-9 - (-3/y^2-9) = y /y^2-9 + 3/y^2-9 = y+3/(y-3)(y+3)= 1/y-3
2)2x/x^2-4 - 4/4 - x^2 =2x/x^2-4 - (-4/x^2-4) = 2x+4/x^2-4 = 2(x+2)/(x-2)(x+2)= 2/x-2
3)x2/x-7 + 7x/7-x = x^2/x-7 - 7x/x-7 = x^2-7x/x-7 = x(x-7)/x-7= x
4)7/x^2-9x + 3x-7/x^2-9x =7+3x-7/x^2-9x= 3x/x^2-9x
5)5y-19/11y + 6y+8/11y =5y-19+6y+8/11y= 11y - 27/11y
6)y+3/y-3 - 9-y/y-3 =y+3-9-y/y-3=-3/y-3
7)12a+b/28a - b-30a/28a =12a+b-b-30a/28a = -28a/28a = -1
8)6a-4/2 - 2-3a/2 =6a-4-2-3a/2 = 3a+6/2 = 3(a+2)/2
9)b/a-b - a/a-b =-a/a-b - b/a-b = -(a-b)/a-b = -1
10)5a/a-b - 5b/a-b =5a-5b/a-b = 5(a-b)/a-b = 5
11)m^2/m-5 - 25/m-5 =m^2-25/m-5 = (m-5)(m+5)/m-5= m+5
12)a^2-47/a+7 - 2/a+7 =a^2-47-2/a+7 = a^2-49/a+7 = (a-7)(a+7)/a+7=a-7
13)m/m^2-n^2 - n/m^2-n^2 =m-n/m^2-n^2= m-n/(m-n)(m+n)=1/m+n
14)m2/m+n - n^2/m+n =m^2-n^2/m+n = (m-n)(m+n)/m+n = m-n
15)n^2/3n+3m - m^2/3n+3m =n^2-m^2/3n+3m = (n-m)(n+m)/3(n+m) = n-m/3