Алгебра: Вот система уравнений, попробуйте решить:)

$(x {}^{2} + y {}^{2} )(x - y) = 447 \\ xy(x - y) = 210$ Вот система уравнений, попробуйте решить:)

Показать ответ

Ответ:

s0nnka

07.09.2021 11:40

$(10 \ ; \ 7) \ ; \ (-7 \ ; \ -10) \ ;$

Объяснение:

$D(x,y): \ x \neq y, \ x \neq 0, \ y \neq 0 \ ;$

$\displaystyle \left \{ {{(x^{2}+y^{2})(x-y)=447} \atop {xy(x-y)=210}} \right. \ ;$

Разделим верхнее уравнение на нижнее:

$\dfrac{(x^{2}+y^{2})(x-y)}{xy(x-y)}=\dfrac{447}{210} \ ;$

$\dfrac{x^{2}+y^{2}}{xy}=\dfrac{149}{70} \ ;$

$\dfrac{x^{2}}{xy}+\dfrac{y^{2}}{xy}=\dfrac{149}{70} \ ;$

$\dfrac{x}{y}+\dfrac{y}{x}=\dfrac{149}{70} \ ;$

Введём замену:

$t=\dfrac{x}{y} \Rightarrow \dfrac{y}{x}=\dfrac{1}{t} \ ;$

Перепишем уравнение с учётом замены:

$t+\dfrac{1}{t}=\dfrac{149}{70} \quad \bigg | \quad \cdot 70t$

$70t^{2}+70=149t;$

$70t^{2}-149t+70=0;$

$D=b^{2}-4ac \Rightarrow D=(-149)^{2}-4 \cdot 70 \cdot 70=149^{2}-4 \cdot 4900=(150-1)^{2}-4 \cdot$

$\cdot (5000-100)=22500-300+1-20000+400=2500+100+1=2601;$

$t_{1}=\dfrac{-b+\sqrt{D}}{2a} \Rightarrow t_{1}=\dfrac{-(-149)+\sqrt{2601}}{2 \cdot 70}=\dfrac{149+51}{140}=\dfrac{200}{140}=\dfrac{10}{7} \ ;$

$t_{2}=\dfrac{-b-\sqrt{D}}{2a} \Rightarrow t_{2}=\dfrac{-(-149)-\sqrt{2601}}{2 \cdot 70}=\dfrac{149-51}{140}=\dfrac{98}{140}=\dfrac{7}{10} \ ;$

Вернёмся к замене:

$\dfrac{x}{y}=\dfrac{10}{7} \quad \vee \quad \dfrac{x}{y}=\dfrac{7}{10} \ ;$

$x=\dfrac{10}{7}y \quad \vee \quad x=\dfrac{7}{10}y \ ;$

Вернёмся к системе:

$\displaystyle \left \{ {{x=\dfrac{10}{7}y} \atop {\dfrac{10}{7}y^{2} \bigg (\dfrac{10}{7}y-y \bigg )=210}} \right. \vee \left \{ {{x=\dfrac{7}{10}y} \atop {\dfrac{7}{10}y^{2} \bigg (\dfrac{7}{10}y-y \bigg )=210}} \right. \Leftrightarrow \left \{ {{x=\dfrac{10}{7}y} \atop {\dfrac{10}{7}y^{2} \cdot \dfrac{3}{7}y=210}} \right. \vee$

$\displaystyle \vee \left \{ {{x=\dfrac{7}{10}y} \atop {-\dfrac{7}{10}y^{2} \cdot \dfrac{3}{10}y=210}} \right. \Leftrightarrow \left \{ {{x=\dfrac{10}{7}y} \atop {\dfrac{30}{49}y^{3}=210}} \right. \vee \left \{ {{x=\dfrac{7}{10}y} \atop {-\dfrac{21}{100}y^{3}=210}} \right. \Leftrightarrow$

$\displaystyle \Leftrightarrow \left \{ {{x=\dfrac{10}{7}y} \atop {y^{3}=7 \cdot 49}} \right. \vee \left \{ {{x=\dfrac{7}{10}y} \atop {y^{3}=-1000}} \right. \Leftrightarrow \left \{ {{x=\dfrac{10}{7}y} \atop {y^{3}=7^{3}}} \right. \vee \left \{ {{x=\dfrac{7}{10}y} \atop {y^{3}=(-10)^{3}}} \right. \Leftrightarrow$

$\displaystyle \Leftrightarrow \left \{ {{x=\dfrac{10}{7}y} \atop {y=7}} \right. \vee \left \{ {{x=\dfrac{7}{10}y} \atop {y=-10}} \right. \Leftrightarrow \left \{ {{x=10} \atop {y=7}} \right. \vee \left \{ {{x=-7} \atop {y=-10}} \right. ;$