1. Чтобы начертить графики, необходимо составить таблицу значений для каждого выражения для соответствующих значений x:
x2+6x+8,еслиx∈[−6;−1].
x
−6
−5
−4
−3
−2
−1
y
x+2−−−−√+2,еслиx∈(−1;2].
x
−1
0
1
2
y
2. Заполняем обе таблицы значениями y, которые можно вычислить, подставив в выражение вместо x соответствующие значения аргумента:
x2+6x+8,еслиx∈[−6;−1];
a) y=(−6)2+6⋅(−6)+8=36−36+8=8;
b) y=(−5)2+6⋅(−5)+8=25−30+8=3;
c) y=(−4)2+6⋅(−4)+8=16−24+8=0;
d) y=(−3)2+6⋅(−3)+8=9−18+8=−1;
e) y=(−2)2+6⋅(−2)+8=4−12+8=0;
f) y=(−1)2+6⋅(−1)+8=1−6+8=3.
x
−6
−5
−4
−3
−2
−1
y
8
3
0
−1
0
3
x+2−−−−√+2,еслиx∈(−1;2];
y=−1+2−−−−−−√+2=1–√+2=1+2=3;
y=0+2−−−−√+2=2–√+2≈1,41+2≈3,41;
y=1+2−−−−√+2=3–√+2≈1,73+2≈3,73;
y=2+2−−−−√+2=4–√+2=2+2=4.
x
−1
0
1
2
y
3
3,41
3,73
4
3. Чертим график функции.
a4.png
При значении x, равном −1, по интервалу первого выражения точка должна быть закрашенной, но по интервалу второго выражения точка должна быть незакрашенной. В этой ситуации точка на чертеже должна быть закрашенной.
4. Интервалы возрастания и убывания функции определяем по оси x. Если при возрастании значений x значения функции возрастают (на рис. график идёт вверх), то на этом интервале функция возрастает. Если при возрастании значений x значения функции убывают (на рис. график идёт вниз), то на этом интервале функция убывает.
a4.png
Интервал возрастания функции: x∈[−3;2].
Интервал убывания функции: x∈[−6;−3].
5. Точку, в которой функция непрерывна и меняется с возрастающей на убывающую, называют максимумом функции. Точку, в которой функция непрерывна и меняется с убывающей на возрастающую, называют минимумом функции. Минимумы и максимумы функции называются экстремумами. Поэтому экстремумом функции является f(−3) = −1 (минимум функции).
6. Наибольшее и наименьшее значения функции находят по оси y, и они часто совпадают с экстремумами функции. Разница в том, что наибольшее и наименьшее значения есть в том случае, когда функция прерывается. В данном примере наибольшим значением функции является f(−6) = 8, наименьшим значением функции является f(−3) = −1.
7. Положительные и отрицательные значения функции определяют по оси x. Та часть функции, график которой находится ниже оси x, является отрицательной, а та, которая находится выше оси x, является положительной. Следовательно, функция положительна, если x∈[−6;−4)∪(−2;2], и отрицательна, если x∈(−4;−2).
8. Так как функция не симметрична ни относительно оси y , ни относительно начала координат, то она является ни чётной, ни нечётной.
9. Нулями функции являются те значения, при которых функция касается или пересекает ось x:
x1=−4,т. к.f(−4)=0;
x2=−2,т. к.f(−2)=0.
10. Точки пересечения с осями x и y можно определить по графику:
а) 4x² - 4x - 15 < 0
D = b² - 4ac = 16 + 4*4*15 = 16 + 240 = 256
x₁ = (-b + √D) / 2a = (4 + 16) / 8 = 20 / 8 = 2,5
x₂ = (-b - √D) / 2a = (4 - 16) / 8 = -12 / 8 = -1,5
(x - 2,5)(х + 1,5) < 0
{ x < 2,5
{ x < -1,5
ответ: (-1,5; 2,5)
б) x² - 81 > 0
(x - 9)(x + 9) > 0
{ x > -9
{ x > 9
ответ: (-9; 9)
в) x² < 1,7х
x² - 1,7х < 0
х(x - 1,7) < 0
{ x < 0
{ x < 1,7
ответ: (0; 1,7)
г) x( x + 3) - 6 < 3 (x + 1)
x² + 3x - 6 - 3x - 3 < 0
x² - 9 < 0
(x - 3)(x + 3) < 0
{ x < -3
{ x < 3
ответ: (-3; 3)
1. Чтобы начертить графики, необходимо составить таблицу значений для каждого выражения для соответствующих значений x:
x2+6x+8,еслиx∈[−6;−1].
x
−6
−5
−4
−3
−2
−1
y
x+2−−−−√+2,еслиx∈(−1;2].
x
−1
0
1
2
y
2. Заполняем обе таблицы значениями y, которые можно вычислить, подставив в выражение вместо x соответствующие значения аргумента:
x2+6x+8,еслиx∈[−6;−1];
a) y=(−6)2+6⋅(−6)+8=36−36+8=8;
b) y=(−5)2+6⋅(−5)+8=25−30+8=3;
c) y=(−4)2+6⋅(−4)+8=16−24+8=0;
d) y=(−3)2+6⋅(−3)+8=9−18+8=−1;
e) y=(−2)2+6⋅(−2)+8=4−12+8=0;
f) y=(−1)2+6⋅(−1)+8=1−6+8=3.
x
−6
−5
−4
−3
−2
−1
y
8
3
0
−1
0
3
x+2−−−−√+2,еслиx∈(−1;2];
y=−1+2−−−−−−√+2=1–√+2=1+2=3;
y=0+2−−−−√+2=2–√+2≈1,41+2≈3,41;
y=1+2−−−−√+2=3–√+2≈1,73+2≈3,73;
y=2+2−−−−√+2=4–√+2=2+2=4.
x
−1
0
1
2
y
3
3,41
3,73
4
3. Чертим график функции.
a4.png
При значении x, равном −1, по интервалу первого выражения точка должна быть закрашенной, но по интервалу второго выражения точка должна быть незакрашенной. В этой ситуации точка на чертеже должна быть закрашенной.
4. Интервалы возрастания и убывания функции определяем по оси x. Если при возрастании значений x значения функции возрастают (на рис. график идёт вверх), то на этом интервале функция возрастает. Если при возрастании значений x значения функции убывают (на рис. график идёт вниз), то на этом интервале функция убывает.
a4.png
Интервал возрастания функции: x∈[−3;2].
Интервал убывания функции: x∈[−6;−3].
5. Точку, в которой функция непрерывна и меняется с возрастающей на убывающую, называют максимумом функции. Точку, в которой функция непрерывна и меняется с убывающей на возрастающую, называют минимумом функции. Минимумы и максимумы функции называются экстремумами. Поэтому экстремумом функции является f(−3) = −1 (минимум функции).
6. Наибольшее и наименьшее значения функции находят по оси y, и они часто совпадают с экстремумами функции. Разница в том, что наибольшее и наименьшее значения есть в том случае, когда функция прерывается. В данном примере наибольшим значением функции является f(−6) = 8, наименьшим значением функции является f(−3) = −1.
7. Положительные и отрицательные значения функции определяют по оси x. Та часть функции, график которой находится ниже оси x, является отрицательной, а та, которая находится выше оси x, является положительной. Следовательно, функция положительна, если x∈[−6;−4)∪(−2;2], и отрицательна, если x∈(−4;−2).
8. Так как функция не симметрична ни относительно оси y , ни относительно начала координат, то она является ни чётной, ни нечётной.
9. Нулями функции являются те значения, при которых функция касается или пересекает ось x:
x1=−4,т. к.f(−4)=0;
x2=−2,т. к.f(−2)=0.
10. Точки пересечения с осями x и y можно определить по графику:
a) точки пересечения с осью x: (−4;0) и (−2;0);
б) точка пересечения с осью y: (0;3,41).
Объяснение: