Рассмотрим функцию у = х² + 3х - 18. Графиком этой функции является парабола, ветви которой направлены вверх.
Выясним, как расположена эта парабола относительно оси Ох. Для этого решим уравнение х² + 3х - 18 =0:
D = 3² - 4 · 1 · (-18) = 9 + 72 = 81; √81 = 9
х₁ = (-3 + 9)/(2 · 1) = 6/2 = 3,
х₂ = (-3 - 9)/(2 · 1) = -12/2 = -6.
Значит, парабола пересекает ось Ох в двух точках, абсциссы которых равны -6 и 3.
Покажем схематически, как расположена парабола в координатной плоскости (см. рис.) Из рисунка видно, что функция принимает отрицательные значения, когда х∈(-6; 3). Следовательно, множеством решений неравенства x² + 3x - 18 < 0 является промежуток (-6; 3).
2. Методом интервалов.
Метод интервалов применяется в случае, когда левая часть нервенства имеет многочлена, а правая равна 0. В этом случае находят корни многочлена, располагают их в порядке возрастания, наносят их на числовую ось, а затем справа налево располагают знаки "+" и "-", чередуя их, если корень некратный, и сохраняя знак, если корень кратный.
x² + 3x - 18 < 0
Разложим на множители многочлен x² + 3x - 18, для чего решим квадратное уравнение x² + 3x - 18 = 0:
D = 3² - 4 · 1 · (-18) = 9 + 72 = 81; √81 = 9
х₁ = (-3 + 9)/(2 · 1) = 6/2 = 3,
х₂ = (-3 - 9)/(2 · 1) = -12/2 = -6.
Значит, x² + 3x - 18 = (х - 3)(х + 6).
Отметим на координатной прямой точки -6 и 3 и укажем знаки многочлена на каждом из полученных интервалов (см. рис.).
Решить уравнение
25*sin(x)cos(x)-sin(x)-cos(x)=5 ;
25*( ( sin(x) +cos(x) )² - 1) /2 - ( sin(x) +cos(x) =5 ;
замена: t = sin(x) +cos(x) = √2cos(x -π/4) ; -√2 ≤ √2cos(x -π/4) ≤ √2
25(t² -1)/2 - t =5 ;
25t² -2t -35 =0 ; D₁ =(2/2)² - 25*(-35) =1 +875 =876 =(2√219)²
t₁ = (1 -2√219) / 25 ;
t₂ = (1+2√219) / 25 .
* * * t₁ и t₂ ∈ [ - √2 ; √2] * * *
a)
√2cos(x -π/4) = (1 -2√219) / 25 ;
cos(x -π/4) = √2(1 -2√219) / 50
x -π/4 = ± arccos (√2(1 -2√219) / 50) +2πn , n ∈ Z .
x = π/ 4 ± arccos (√2(1 -2√219) / 50) +2πn , n ∈ Z .
б)
√2cos(x -π/4) = (1 +2√219) / 25;
x = π/ 4 ± arccos (√2(1 +2√219) / 50) +2πn , n ∈ Z .√2
1. С графика квадратичной функции.
x² + 3x - 18 < 0.
Рассмотрим функцию у = х² + 3х - 18. Графиком этой функции является парабола, ветви которой направлены вверх.
Выясним, как расположена эта парабола относительно оси Ох. Для этого решим уравнение х² + 3х - 18 =0:
D = 3² - 4 · 1 · (-18) = 9 + 72 = 81; √81 = 9
х₁ = (-3 + 9)/(2 · 1) = 6/2 = 3,
х₂ = (-3 - 9)/(2 · 1) = -12/2 = -6.
Значит, парабола пересекает ось Ох в двух точках, абсциссы которых равны -6 и 3.
Покажем схематически, как расположена парабола в координатной плоскости (см. рис.) Из рисунка видно, что функция принимает отрицательные значения, когда х∈(-6; 3). Следовательно, множеством решений неравенства x² + 3x - 18 < 0 является промежуток (-6; 3).
2. Методом интервалов.
Метод интервалов применяется в случае, когда левая часть нервенства имеет многочлена, а правая равна 0. В этом случае находят корни многочлена, располагают их в порядке возрастания, наносят их на числовую ось, а затем справа налево располагают знаки "+" и "-", чередуя их, если корень некратный, и сохраняя знак, если корень кратный.
x² + 3x - 18 < 0
Разложим на множители многочлен x² + 3x - 18, для чего решим квадратное уравнение x² + 3x - 18 = 0:
D = 3² - 4 · 1 · (-18) = 9 + 72 = 81; √81 = 9
х₁ = (-3 + 9)/(2 · 1) = 6/2 = 3,
х₂ = (-3 - 9)/(2 · 1) = -12/2 = -6.
Значит, x² + 3x - 18 = (х - 3)(х + 6).
Отметим на координатной прямой точки -6 и 3 и укажем знаки многочлена на каждом из полученных интервалов (см. рис.).
Множество решений неравенства: х∈(-6; 3).
ответ:(-6; 3).