Вычисление площади криволинейной трапеции с определенного интеграла. Вычислить площадь фигуры, ограниченной графиками функций

Вычисление площади криволинейной трапеции с определенного интеграла. Вычислить площадь фигуры, огран

Показать ответ

Ответ:

МелодиЛук

24.03.2023 02:05

абсцисса вершины параболы: $m=-\dfrac{p}{2}$ . тогда ординату вершины параболы найдем, подставив абсциссу вершины параболы в график уравнения

$y=\left(-\dfrac{p}{2}\right)^2+p\cdot \left(-\dfrac{p}{2}\right)+q=\dfrac{p^2}{4}-\dfrac{p^2}{2}+q=q-\dfrac{p^2}{4}$

по условию, сумма координат вершины параболы равна 0,5. то есть

$-\dfrac{p}{2}+q-\dfrac{p^2}{4}=\dfrac{1}{2}~~~\bigg|\cdot 4\\ \\ -2p+4q-p^2=2\\ \\ p^2+2p-4q+2=0$

далее парабола пересекает ось ординат в точке с ординатой 0,25, то есть точка (0; 0.25) принадлежит параболе. подставим их координаты

$q=\dfrac{1}{4}$

$p^2+2p-4\cdot \dfrac{1}{4}+2=0$

$p^2+2p+1=0\\ \\ (p+1)^2=0\\ \\ p=-1$

отсюда абсцисса вершины параболы: $m=-\dfrac{p}{2}=\dfrac{1}{2}$

ответ: 0,5.

0,0(0 оценок)

Ответ:

НикВероник1

27.11.2021 04:12

Т.к. sin(x) - непрерывная функция, она интегрируема, и можно выбирать любое разбиение с любыми точками на нем. Разобьем [a,b] на n равных частей и возьмем значения функции в левых точках получившихся отрезков:
∑ sin(a + k*(b-a)/n) * (b-a)/n, где k = 0 .. n-1

Далее преобразуем слагаемые в разности косинусов:
sin(a + k*(b-a)/n) = sin(a + k*(b-a)/n) * sin( (b-a)/2n ) / sin( (b-a)/2n ) = 1/(2sin((b-a)/2n)) * [cos(a + (k-1/2)*(b-a)/n) - cos(a + (k+1/2)*(b-a)/n)]

Здесь были применены формулы
cos(x+y) = cos(x)cos(y) - sin(x)sin(y)
cos(x-y) = cos(x)cos(y) + sin(x)sin(y)
Тогда sin(x)sin(y) = 1/2 (cos(x-y) - cos(x+y))
Где x = a + k*(b-a)/n, y = (b-a)/2n

y было выбрано так, чтобы все косинусы, кроме крайних, попадали в сумму с разными знаками и сокращались.

Исходная сумма ∑ sin(a + k*(b-a)/n) * (b-a)/n преобразуется к виду
(b-a)/n * 1/(2sin( (b-a)/2n )) * ∑ [cos(a + (k-1/2)*(b-a)/n) - cos(a + (k+1/2)*(b-a)/n)], k = 0 .. n-1

Т.к. cos(a + (k + 1/2) * (b-a)/n) = cos(a + ((k+1)-1/2) * (b-a)/n), соответствующие слагаемые в сумме сокращаются, как и рассчитывалось. Т.е.

∑ [cos(a + (k-1/2)*(b-a)/n) - cos(a + (k+1/2)*(b-a)/n)] = cos(a - 1/2 (b-a)/n) - cos(a + (n - 1/2)*(b-a)/n)

При n ⇒ ∞, это выражение стремится к cos(a) - cos(b)

Что касается коэффициента (b-a)/n * 1/(2sin( (b-a)/2n )) перед суммой, при n ⇒ ∞ синус стремится к своему аргументу, т.е. (b-a)/n * 1/(2sin( (b-a)/2n )) ⇒ (b-a)/n * 1/(2 * (b-a)/2n)) = 1

Т.е. сумма стремится cos(a) - cos(b) при n ⇒ ∞, причем этот предел по определению и является искомым определенным интегралом (диаметр разбиения (b-a)/n стремится к 0)

0,0(0 оценок)

Популярные вопросы: Алгебра