Уравнения в целых числах – это алгебраические уравнения с двумя или более неизвестными переменными и целыми коэффициентами. Решениями такого уравнения являются все целочисленные (иногда натуральные или рациональные) наборы значений неизвестных переменных, удовлетворяющих этому уравнению. Такие уравнения ещё называют диофантовыми, в честь древнегреческого математика Диофанта Александрийского, который исследовал некоторые типы таких уравнений ещё до нашей эры.
Современной постановкой диофантовых задач мы обязаны французскому математику Ферма. Именно он поставил перед европейскими математиками вопрос о решении неопределённых уравнений только в целых числах. Наиболее известное уравнение в целых числах – великая теорема Ферма: уравнение
xn + yn = zn
не имеет ненулевых рациональных решений для всех натуральных n > 2.
Теоретический интерес к уравнениям в целых числах достаточно велик, так как эти уравнения тесно связаны со многими проблемами теории чисел.
В 1970 году ленинградский математик Юрий Владимирович Матиясевич доказал, что общего позволяющего за конечное число шагов решать в целых числах произвольные диофантовы уравнения, не существует и быть не может. Поэтому следует для разных типов уравнений выбирать собственные методы решения.
При решении уравнений в целых и натуральных числах можно условно выделить следующие методы:
перебора вариантов;
применение алгоритма Евклида;
представление чисел в виде непрерывных (цепных) дробей;
разложения на множители;
решение уравнений в целых числах как квадратных (или иных) относительно какой-либо переменной;
Так как х, у – целые числа, то находим решения исходного уравнения, как решения следующих четырёх систем:
1) x – 2y = 7, x + y = 1;
2) x – 2y = 1, x + y = 7;
3) x – 2y = –7, x + y = –1;
4) x – 2y = –1, x + y = –7.
Решив эти системы, получаем решения уравнения: (3; –2), (5; 2), (–3; 2) и (–5; –2).
ответ: (3; –2), (5; 2), (–3; 2), (–5; –2).
2. Решить в целых числах уравнение:
а) 20х + 12у = 2013;
б) 5х + 7у = 19;
в) 201х – 1999у = 12.
Решение
а) Поскольку при любых целых значениях х и у левая часть уравнения делится на два, а правая является нечётным числом, то уравнение не имеет решений в целых числах.
ответ: решений нет.
б) Подберём сначала некоторое конкретное решение. В данном случае, это просто, например,
У Матвеевой Е.В. четверо детей возраста 16, 15, 8 и 5 лет.
При этом ее ежемесячный доход (заработная плата) составляет 40 000 рублей.
Матвеева Е.В. подала письменное заявление на имя работодателя на получение стандартного налогового вычета на всех детей: на содержание первого и второго ребенка – по 1 400 рублей, третьего и четвертого – 3 000 рублей в месяц.
Таким образом, общая сумма налогового вычета составила 8 800 рублей в месяц.
Эта сумма будет вычитаться из дохода Матвеевой Е.В. до августа включительно, поскольку именно в этом месяце налогооблагаемый доход с начала года достигнет порога 350 000 рублей.
Ежемесячно с января по август работодатель будет рассчитывать своей сотруднице Матвеевой Е.В. НДФЛ из суммы 31 200 рублей, получаемой из разницы налогооблагаемых по ставке 13% доходов в размере 40 000 рублей и суммы налогового вычета в размере 8 800 рублей:
НДФЛ = (40 000 руб. – 8 800 руб.) х 13% = 4 056 руб.
Таким образом, на руки Матвеева Е.В. получит 35 944 руб.
Если бы Матвеева Е.В. не подавала заявление на вычет и не получала его, то работодатель рассчитывал бы НДФЛ следующим образом:
НДФЛ = 40 000 руб. х 13% = 5 200 руб., доход за вычетом НДФЛ составил бы 34 800 руб.
Немного теории
Уравнения в целых числах – это алгебраические уравнения с двумя или более неизвестными переменными и целыми коэффициентами. Решениями такого уравнения являются все целочисленные (иногда натуральные или рациональные) наборы значений неизвестных переменных, удовлетворяющих этому уравнению. Такие уравнения ещё называют диофантовыми, в честь древнегреческого математика Диофанта Александрийского, который исследовал некоторые типы таких уравнений ещё до нашей эры.
Современной постановкой диофантовых задач мы обязаны французскому математику Ферма. Именно он поставил перед европейскими математиками вопрос о решении неопределённых уравнений только в целых числах. Наиболее известное уравнение в целых числах – великая теорема Ферма: уравнение
xn + yn = zn
не имеет ненулевых рациональных решений для всех натуральных n > 2.
Теоретический интерес к уравнениям в целых числах достаточно велик, так как эти уравнения тесно связаны со многими проблемами теории чисел.
В 1970 году ленинградский математик Юрий Владимирович Матиясевич доказал, что общего позволяющего за конечное число шагов решать в целых числах произвольные диофантовы уравнения, не существует и быть не может. Поэтому следует для разных типов уравнений выбирать собственные методы решения.
При решении уравнений в целых и натуральных числах можно условно выделить следующие методы:
перебора вариантов;
применение алгоритма Евклида;
представление чисел в виде непрерывных (цепных) дробей;
разложения на множители;
решение уравнений в целых числах как квадратных (или иных) относительно какой-либо переменной;
метод остатков;
метод бесконечного спуска.
Задачи с решениями
1. Решить в целых числах уравнение x2 – xy – 2y2 = 7.
Решение
Запишем уравнение в виде (x – 2y)(x + y) = 7.
Так как х, у – целые числа, то находим решения исходного уравнения, как решения следующих четырёх систем:
1) x – 2y = 7, x + y = 1;
2) x – 2y = 1, x + y = 7;
3) x – 2y = –7, x + y = –1;
4) x – 2y = –1, x + y = –7.
Решив эти системы, получаем решения уравнения: (3; –2), (5; 2), (–3; 2) и (–5; –2).
ответ: (3; –2), (5; 2), (–3; 2), (–5; –2).
2. Решить в целых числах уравнение:
а) 20х + 12у = 2013;
б) 5х + 7у = 19;
в) 201х – 1999у = 12.
Решение
а) Поскольку при любых целых значениях х и у левая часть уравнения делится на два, а правая является нечётным числом, то уравнение не имеет решений в целых числах.
ответ: решений нет.
б) Подберём сначала некоторое конкретное решение. В данном случае, это просто, например,
x0 = 1, y0 = 2.
Тогда
5x0 + 7y0 = 19,
откуда
5(х – x0) + 7(у – y0) = 0,
5(х – x0) = –7(у – y0).
Поскольку числа 5 и 7 взаимно простые, то
х – x0 = 7k, у – y0 = –5k.
Значит, общее решение:
х = 1 + 7k, у = 2 – 5k,
где k – произвольное целое число.
ответ: (1+7k; 2–5k), где k – целое число.
Объяснение:
поставь лайк за старания
У Матвеевой Е.В. четверо детей возраста 16, 15, 8 и 5 лет.
При этом ее ежемесячный доход (заработная плата) составляет 40 000 рублей.
Матвеева Е.В. подала письменное заявление на имя работодателя на получение стандартного налогового вычета на всех детей: на содержание первого и второго ребенка – по 1 400 рублей, третьего и четвертого – 3 000 рублей в месяц.
Таким образом, общая сумма налогового вычета составила 8 800 рублей в месяц.
Эта сумма будет вычитаться из дохода Матвеевой Е.В. до августа включительно, поскольку именно в этом месяце налогооблагаемый доход с начала года достигнет порога 350 000 рублей.
Ежемесячно с января по август работодатель будет рассчитывать своей сотруднице Матвеевой Е.В. НДФЛ из суммы 31 200 рублей, получаемой из разницы налогооблагаемых по ставке 13% доходов в размере 40 000 рублей и суммы налогового вычета в размере 8 800 рублей:
НДФЛ = (40 000 руб. – 8 800 руб.) х 13% = 4 056 руб.
Таким образом, на руки Матвеева Е.В. получит 35 944 руб.
Если бы Матвеева Е.В. не подавала заявление на вычет и не получала его, то работодатель рассчитывал бы НДФЛ следующим образом:
НДФЛ = 40 000 руб. х 13% = 5 200 руб., доход за вычетом НДФЛ составил бы 34 800 руб.