Вычислить определитель третьего порядка ∆=

1. log₂(x+1)<log₂(6-2x) ОДЗ: x+1>0 x>-1 6-2x>0 x<3 ⇒ x∈(-1;3)

x+1<6-2x 3x<5 x<5/3=1²/₃.

ответ: x∈(-1;1²/₃).

2.lg(x-3) >0 ОДЗ: x-3>0 x>3.

lg(x-3)>lg1 x-3>1 x>4.

ответ: x∈(4;+∞).

3. log₅((3-x)/(2-x))<1 ОДЗ: -∞__+__2__-__3__+__+∞ ⇒ x∈(-∞;2)U(3;+∞)

log₅((3-x)/(2-x))<log₅5 (3-x)/(2-x)<5 3-x<10-5x 4x<7 x<7/4=1³/₄

ответ: x∈(-∞;1³/₄).

4. log₃₃(33x+2)≤1 ОДЗ: 33x+2>0 33x>-2 x>-2/33

log₃₃(33x+2)≤log₃₃33

33x+2≤33 33x≤31 x≤31/33

ответ: x∈(-2/33;31/33].

5. log₁/₉(2x-1)+log₁/₉(x)>0 ОДЗ: 2x-1>0 x>1/2 x>0 ⇒ x>1/2=0,5

log₁/₉((2x-1)*x)>log₁/₉1

(2x-1)*x<1 2x²-x-1<0 D=9 x₁=1 x₂=-0,5 ⇒

(x-1)(x+0,5)<0 -∞__+__-0,5__-__1__+__+∞ ⇒ x∈(-0,5;1).

ответ: x∈(0,5;1).

1) 
Условие существования логарифма: 3x + 1 > 0 ⇒ x > , x > 1 ⇒ x > 1. 
По свойству логарифма: logₐb - logₐc = logₐ при условии существования логарифмов. В нашем случае это тоже работает: данные логарифмы десятичные, значит, в основании 10. Вспомним, что  (также при условии существования логарифма). Сразу вычислим lg1 - чтобы получить из 10 1, нужно 10 возвести в нулевую степень, значит, что 0. Тогда наше уравнение равносильно такому: 

Т.к. логарифмическая функция каждое свое значение принимает единожды, 

Мы уже ставили условие, что x - 1 > 0, тогда 
3x + 1 = (x - 1)²
3x + 1 = x² - 2x + 1
x² - 5x = 0
x(x - 5) = 0 
x = 0 или x = 5. 
Вспоминаем, что x > 1, и получаем x = 5. 

ответ: 5. 

2) 25ˣ - 6 * 5ˣ = -5
Знаем, что 25 = 5², значит, уравнение принимает такой вид: 
(5²)ˣ - 6 * 5ˣ = -5
По свойству дробей (5²)ˣ раскрывается, как 5²ˣ, и можем представить в виде (5ˣ)², значит, 
(5ˣ)² - 6 * 5ˣ = -5
Пусть t = 5ˣ, тогда 
t² - 6t + 5 = 0
t = 1 или t = 5. 
Обратная замена: 
5ˣ = 1 или 5ˣ = 5, т. е. x = 0 или x = 1. 

ответ: 0; 1.