Войти Регистрация Спроси ai-bota

вычислить сумму членов ряда.

Показать ответ

Ответ:

ElenaAristova1501

14.10.2020 07:48

$\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \dfrac{2n + 1}{n^{2} (n + 1)^{2}}$

Здесь -й член ряда $u_{n} = \dfrac{2n + 1}{n^{2} (n + 1)^{2}}$ является правильной рациональной дробью относительно . Разложим $u_{n}$ на сумму простейших дробей:

$\dfrac{2n + 1}{n^{2} (n + 1)^{2}} = \dfrac{A}{n^{2}} + \dfrac{B}{n}+ \dfrac{C}{(n + 1)^{2}} + \dfrac{D}{n + 1}$

$2n + 1 = A(n + 1)^{2} + Bn(n + 1)^{2} + Cn^{2} + Dn^{2}(n + 1)$

Если n = 0 , то A = 1

Если n = -1 , то $2 \cdot (-1) + 1 = C \Rightarrow C = -1$

Коэффициенты около $n^{1}: \ 2 = 2A + B; \ B = 2 - 2A = 2 - 2 = 0$

Коэффициенты около $n^{3}: \ 0 = B + D; \ D = -B = 0$

Итог: $\dfrac{2n + 1}{n^{2} (n + 1)^{2}} = \dfrac{1}{n^{2}} - \dfrac{1}{(n + 1)^{2}}$

Поэтому $S_{n} = \dfrac{3}{1 \cdot 4} + \dfrac{5}{4 \cdot 9} + ... + \dfrac{2n + 1}{n^{2} (n + 1)^{2}} =$

$= \left(1 - \dfrac{1}{4} \right) + \left(\dfrac{1}{2} - \dfrac{1}{9} \right) + ... + \left(\dfrac{1}{n^{2}} - \dfrac{1}{(n + 1)^{2}} \right) = 1 - \dfrac{1}{(n + 1)^{2}}$

$\displaystyle \lim_{n \to \infty} S_{n} = \lim_{n \to \infty} \left(1 - \dfrac{1}{(n + 1)^{2}}\right) = 1$

Следовательно, $\displaystyle \exists \lim_{n \to \infty} S_{n}$ , ряд сходится, а сумма ряда $S = \displaystyle \lim_{n \to \infty} S_{n} = 1$

ответ: 1.

0,0(0 оценок)

Популярные вопросы: Алгебра

1234567890640

18.04.2023 01:24

Найдите значение выражения (8 корень из 2)в квадрате деленное на 16?...

zadoroznaa2001

18.04.2023 01:24

Преобразуйте выражение в многочлен (а-б)*(а-б)*(а+б*(а+б)= (а-1)*(1+а)*(а^2+1)= (p+g)^2*(p-g)^2= (5+m)*(m-5)*(m-5)*(m+5)=...

Dashe444ki

18.04.2023 01:24

Решите уравнение -х во 2 степени =5х-14...

тиматимуша

23.07.2021 02:19

05. Построить график функции y=x (составить таблицу и построить по точкам)...

Silestya

11.03.2020 14:29

Постройте график функции у(х). Используя построенный график функции, постройте график функции f(x) применяя элементарные преобразования....

Bearina

19.07.2021 19:50

1)d=2 n=12 Sn=72 a1=? an=?2)d=3 n=? an=20 Sn=77 a1=?можете...

rebecca332

20.05.2023 17:00

Уравнение (4 + 3x2)(x2 – 2) + 12 = 0 представь в виде биквадратного ax4 + bx2 + c = 0 и с замены x2 = t приведи к квадратному уравнению. _t2+(2/-2)t+_=0...

dihochi

13.11.2020 19:47

Используя теорему обратного Виета, запишите приведенное квадратное уравнение с корнями х1= -7и х2=2....

mirpodrostka

15.02.2021 15:31

Втреугольнике abc угол a равен 90∘, tgb= √3/3 , ac=5. найдите bc...

GoldenKookieBunny

15.02.2021 15:31

Укажите допустимые значения переменной: 3-2х(в корне) + 1-х (в корне)...

Полный доступ

Позволит учиться лучше и быстрее. Неограниченный доступ к базе и ответам от экспертов и ai-bota Оформи подписку