Вычислить вероятность того, что дни рождения всех r (r < = 365) человек различны, предполагая, что в году 365 дней и что все дни рождения одинаково вероятны для каждого человека.
Хорошо, давайте решим эту задачу общими шагами для понимания школьником.
Шаг 1: Введение
Для начала, мы должны понять, что в данной задаче речь идет о вероятности того, что все r людей имеют разные дни рождения. Мы также предполагаем, что год состоит из 365 дней и каждый день рождения равновероятен для каждого человека.
Шаг 2: Постановка задачи
Задача заключается в вычислении вероятности того, что у r человек дни рождения различны. Вероятность будет выражаться через отношение количества благоприятных исходов (другими словами, когда все дни рождения различны) к общему количеству исходов.
Шаг 3: Решение задачи
Для решения этой задачи мы можем использовать метод комбинаторики.
- Шаг 3.1: Рассмотрим случай с двумя людьми
Пусть у нас будет всего два человека. Вероятность того, что их дни рождения различны, будет равна:
P(различные дни рождения для 2 людей) = 1 * (365/365) = 1 * 1 = 1
- Шаг 3.2: Рассмотрим случай с тремя людьми
Теперь мы добавляем третьего человека. Вероятность того, что у трех человек дни рождения различны, будет равна:
P(различные дни рождения для 3 людей) = 1 * (365/365) * (364/365)
Здесь мы умножаем 364/365, потому что у второго человека должен быть день рождения, отличный от первого. Вероятность этого равна 364/365.
- Шаг 3.3: Обобщение до r людей
Продолжая этот подход, мы можем обобщить его до r людей. Вероятность, что дни рождения для всех r людей различны, будет равна:
P(различные дни рождения для r людей) = 1 * (365/365) * (364/365) * (363/365) * ... * ((365 - (r-1))/365)
Здесь мы умножаем каждую вероятность отличного дня рождения для каждого человека от первого до r-1, и последний член в формуле будет ((365 - (r-1))/365).
Шаг 4: Вычисление вероятности
Теперь мы можем скомбинировать все вероятности и вычислить окончательную вероятность.
Например, если у нас есть r = 5 человек, то вероятность будет равна:
P(различные дни рождения для 5 людей) = 1 * (365/365) * (364/365) * (363/365) * ((365 - (5-1))/365) = 1 * 1 * 0.9973 * 0.9956 * 0.9945 = 0.9835
Значит, вероятность того, что у пяти человек дни рождения различны, равна 0.9835.
Шаг 5: Вывод
Таким образом, мы можем вычислить вероятность различных дней рождения для любого числа человек, используя комбинаторику и предположив, что все дни рождения равновероятны. Это решение основано на том, что мы рассматриваем каждое событие (день рождения) как независимое и равновероятное, что может быть допустимым предположением, но не всегда является полной моделью реальности.
Шаг 1: Введение
Для начала, мы должны понять, что в данной задаче речь идет о вероятности того, что все r людей имеют разные дни рождения. Мы также предполагаем, что год состоит из 365 дней и каждый день рождения равновероятен для каждого человека.
Шаг 2: Постановка задачи
Задача заключается в вычислении вероятности того, что у r человек дни рождения различны. Вероятность будет выражаться через отношение количества благоприятных исходов (другими словами, когда все дни рождения различны) к общему количеству исходов.
Шаг 3: Решение задачи
Для решения этой задачи мы можем использовать метод комбинаторики.
- Шаг 3.1: Рассмотрим случай с двумя людьми
Пусть у нас будет всего два человека. Вероятность того, что их дни рождения различны, будет равна:
P(различные дни рождения для 2 людей) = 1 * (365/365) = 1 * 1 = 1
- Шаг 3.2: Рассмотрим случай с тремя людьми
Теперь мы добавляем третьего человека. Вероятность того, что у трех человек дни рождения различны, будет равна:
P(различные дни рождения для 3 людей) = 1 * (365/365) * (364/365)
Здесь мы умножаем 364/365, потому что у второго человека должен быть день рождения, отличный от первого. Вероятность этого равна 364/365.
- Шаг 3.3: Обобщение до r людей
Продолжая этот подход, мы можем обобщить его до r людей. Вероятность, что дни рождения для всех r людей различны, будет равна:
P(различные дни рождения для r людей) = 1 * (365/365) * (364/365) * (363/365) * ... * ((365 - (r-1))/365)
Здесь мы умножаем каждую вероятность отличного дня рождения для каждого человека от первого до r-1, и последний член в формуле будет ((365 - (r-1))/365).
Шаг 4: Вычисление вероятности
Теперь мы можем скомбинировать все вероятности и вычислить окончательную вероятность.
Например, если у нас есть r = 5 человек, то вероятность будет равна:
P(различные дни рождения для 5 людей) = 1 * (365/365) * (364/365) * (363/365) * ((365 - (5-1))/365) = 1 * 1 * 0.9973 * 0.9956 * 0.9945 = 0.9835
Значит, вероятность того, что у пяти человек дни рождения различны, равна 0.9835.
Шаг 5: Вывод
Таким образом, мы можем вычислить вероятность различных дней рождения для любого числа человек, используя комбинаторику и предположив, что все дни рождения равновероятны. Это решение основано на том, что мы рассматриваем каждое событие (день рождения) как независимое и равновероятное, что может быть допустимым предположением, но не всегда является полной моделью реальности.