Вычислите:
а) arcos 1 –arccos (- 1/2)+ arccos √3/2
б) arcsin (- 1/2)+arcsin √2/2 - arcsin (- √3/2)
в) arctg √3 - arctg 1 + arcctg (- √3)
г ) sin (arctg (- 1))
Решите уравнения:
а) 2cos x - √2 = 0
б) 2sin x - √3 = 0
в) √3tg x – 1 = 0
г) ctg x + √3 = 0
д) 2cos(2x + П/4) = - √2
е) sin(x/3 + П/4) = - 1
ж) 2〖sin〗^2х + sinх - 1 = 0
arcos x + arccos y = arccos (xy - (1 - x^2)(1 - y^2)^0.5)
Используя эту формулу, мы можем записать выражение а) в следующем виде:
arcos 1 –arccos (- 1/2)+ arccos √3/2 = arccos [1*(-1/2) - (1 - 1^2)(1 - (-1/2)^2)^0.5] + arccos (√3/2) = arccos (-1/2) + arccos (√3/2)
Так как мы знаем, что arccos (-1/2) = 2π/3 и arccos (√3/2) = π/6, мы можем заменить это возвратными значениями:
arcos 1 –arccos (- 1/2)+ arccos √3/2 = 2π/3 + π/6 = 2π/3 + π/6 = 5π/6
Ответ: 5π/6
б) Точно так же, мы можем воспользоваться формулой дополнительного угла для arcsin:
arcsin x + arcsin y = arcsin(xy + (1 - x^2)(1 - y^2)^0.5)
Используя эту формулу, мы можем записать выражение б) в следующем виде:
arcsin (- 1/2)+arcsin √2/2 - arcsin (- √3/2) = arcsin [(-1/2)*(√2/2) + (1 - (-1/2)^2)(1 - (√2/2)^2)^0.5] - arcsin (- √3/2)
Так как мы знаем, что arcsin (-1/2) = -π/6, arcsin (√2/2) = π/4 и arcsin (-√3/2) = -π/3, мы можем заменить это возвратными значениями:
arcsin (- 1/2)+arcsin √2/2 - arcsin (- √3/2) = -π/6 + π/4 - (-π/3) = -π/6 + π/4 + π/3 = 5π/12
Ответ: 5π/12
в) Для вычисления выражения в) мы можем использовать формулу разности для арктангенса:
arctg x - arctg y = arctg [(x - y) / (1 + xy)]
Используя эту формулу, мы можем записать выражение в) в следующем виде:
arctg √3 - arctg 1 + arcctg (- √3) = arctg [(√3 - 1) / (1 + √3)] - arcctg (√3)
Так как мы знаем, что arctg (√3) = π/3, мы можем заменить это возвратным значением:
arctg √3 - arctg 1 + arcctg (- √3) = arctg [(√3 - 1) / (1 + √3)] - π/3
Ответ: arctg [(√3 - 1) / (1 + √3)] - π/3
г) Для вычисления выражения г) мы можем использовать тригонометрическое тождество:
sin(arctg x) = x / √(1 + x^2)
Используя это тождество, мы можем записать выражение г) в следующем виде:
sin (arctg (- 1)) = (-1) / √(1 + (-1)^2) = (-1) / √(1 + 1) = (-1) / √2 = -√2 / 2
Ответ: -√2 / 2
Теперь рассмотрим уравнения:
а) 2cos x - √2 = 0
Для решения этого уравнения, мы должны избавиться от косинуса. Разделим обе части уравнения на 2:
cos x - √2/2 = 0
Теперь мы можем использовать показательную формулу для косинуса:
cos x = Re(e^(ix)) = Re(cos x + i sin x) = cos x
Теперь можем записать уравнение в виде:
cos x - √2/2 = 0
подставляем выражение для косинуса:
cos x - √2/2 = 0
e^(ix) - √2/2 = 0
e^(ix) = √2/2
Теперь возьмем натуральный логарифм от обеих частей:
ix = ln (√2/2)
Теперь можем найти значение x, разделив обе части на i:
x = (ln (√2/2))/i
Ответ: x = (ln (√2/2))/i
б) 2sin x - √3 = 0
Для решения этого уравнения, мы должны избавиться от синуса. Разделим обе части уравнения на 2:
sin x - √3/2 = 0
Теперь мы можем использовать показательную формулу для синуса:
sin x = Im(e^(ix)) = Im(cos x + i sin x) = sin x
Теперь можем записать уравнение в виде:
sin x - √3/2 = 0
подставляем выражение для синуса:
sin x - √3/2 = 0
e^(ix) - √3/2 = 0
e^(ix) = √3/2
Теперь возьмем натуральный логарифм от обеих частей:
ix = ln (√3/2)
Теперь можем найти значение x, разделив обе части на i:
x = (ln (√3/2))/i
Ответ: x = (ln (√3/2))/i
в) √3tg x – 1 = 0
Для решения этого уравнения, мы должны избавиться от тангенса. Добавим 1 к обеим частям уравнения:
√3tg x = 1
Теперь можем записать уравнение в виде:
tg x = 1/√3
Теперь можем использовать тригонометрическое тождество:
tg (arctg x) = x
Теперь можем найти значение x, подставив tg x = 1/√3:
x = 1/√3
Ответ: x = 1/√3
г) ctg x + √3 = 0
Для решения этого уравнения, мы должны избавиться от котангенса. Перенесем √3 на другую сторону уравнения:
ctg x = -√3
Теперь можем использовать тригонометрическое тождество:
ctg (arctg x) = x
Теперь можем найти значение x, подставив ctg x = -√3:
x = -√3
Ответ: x = -√3
д) 2cos(2x + П/4) = - √2
Для решения этого уравнения, мы должны избавиться от косинуса. Разделим обе части уравнения на 2:
cos(2x + П/4) = - √2/2
Теперь можем использовать формулу двойного угла для косинуса:
cos(2x + П/4) = cos^2(x) - sin^2(x)
Теперь можем записать уравнение в виде:
cos^2(x) - sin^2(x) = - √2/2
Мы также знаем, что cos^2(x) + sin^2(x) = 1. Подставим это значение:
1 - sin^2(x) - sin^2(x) = - √2/2
2sin^2(x) = 1 + √2/2
sin^2(x) = (1 + √2/2) / 2
Теперь возьмем квадратный корень от обеих частей уравнения:
sin(x) = ±√[(1 + √2/2) / 2]
Теперь можем найти значение x, найдя обратный синус:
x = arcsin(±√[(1 + √2/2) / 2])
Ответ: x = arcsin(±√[(1 + √2/2) / 2])
е) sin(x/3 + П/4) = - 1
Для решения этого уравнения, мы должны избавиться от синуса. Перенесем -1 на другую сторону уравнения:
sin(x/3 + П/4) + 1 = 0
Теперь можем использовать формулу суммы для синуса:
sin(a + b) = sin(a)cos(b) + cos(a)sin(b)
Теперь можем записать уравнение в виде:
sin(x/3)cos(П/4) + cos(x/3)sin(П/4) + 1 = 0
Мы также знаем, что sin(П/4) = cos(П/4) = √2/2. Подставим это значение:
(sin(x/3) + cos(x/3)) * √2/2 + 1 = 0
Теперь можем записать это в виде:
(sin(x/3) + cos(x/3)) √2 + 2 = 0
(sin(x/3) + cos(x/3)) = -2 / √2
(sin(x/3) + cos(x/3)) = -√2
Теперь можем использовать тригонометрическое тождество:
sin(arcsin x) = x
(sin(x/3) + cos(x/3)) = -√2
Теперь можем найти значение x, подставив sin(x/3) + cos(x/3) = -√2:
-√2 = -√2
Ответ: -√2 = -√2
ж) 2〖sin〗^2х + sinx - 1 = 0
Для решения этого уравнения, мы можем использовать квадратное уравнение. Перепишем уравнение в стандартной форме:
2sin^2(x) + sin(x) - 1 = 0
Для решения квадратного уравнения, мы можем использовать формулу дискриминанта:
D = b^2 - 4ac
где a = 2, b = 1 и c = -1. Подставим значения и найдем значение D:
D = (1)^2 - 4(2)(-1)
D = 1 + 8
D = 9
Теперь можем использовать формулу для нахождения корней квадратного уравнения:
x = (-b ± √D) / 2a
Подставим значения и найдем значения x:
x = (-1 ± √9) / 2(2)
x = (-1 ± 3) / 4
x₁ = (-1 + 3) / 4 = 2/4 = 1/2
x₂ = (-1 - 3) / 4 = -4/4 = -1
Ответ: x₁ = 1/2, x₂ = -1