Добрый день! Рассмотрим ваш вопрос о вычислении площади фигуры, ограниченной линиями y=sinx, y=0.5, x=π/6 и x=(5π)/6.
1. Начнем с построения графика функции y=sinx на координатной плоскости. Функция sinx имеет период 2π, и значения варьируют от -1 до 1.
2. Отметим точки пересечения графика функции y=sinx с осью OY, т.е. где y=0. Мы видим, что график пересекает ось OY в точках (0,0), (π,0), (2π,0) и так далее.
3. Далее нарисуем график горизонтальной линии y=0.5. Заметим, что эта линия находится выше оси OX. Она пересекает ось OY в точке (0,0.5).
4. Посмотрим на график и точки пересечения считаемых линий. Видим, что график функции y=sinx пересекает горизонтальную линию y=0.5 в двух точках - вблизи (π/6, 0.5) и (5π/6, 0.5).
5. Таким образом, мы имеем ограниченную фигуру, которая ограничена линиями y=sinx, y=0.5, x=π/6 и x=(5π)/6. Запишем площадь этой фигуры как интеграл.
6. Поскольку площадь фигуры находится ниже или на горизонтальной линии y=0.5, мы можем найти разность между графиком функции y=sinx и этой горизонтальной линией.
7. Площадь фигуры S будет определена как интеграл от x=π/6 до x=(5π)/6 интервала расстояний между графиком функции y=sinx и горизонтальной линией y=0.5.
S = ∫[π/6, (5π)/6] (sinx - 0.5)dx.
8. Проинтегрируем это выражение по x.
S = [-cosx - 0.5x] для x=[π/6, (5π)/6].
9. Вычислим значение полученного выражения в пределах от x=π/6 до x=(5π)/6:
S = [-cos((5π)/6) - 0.5((5π)/6)] - [-cos(π/6) - 0.5(π/6)].
10. Продолжим вычисления:
S = [-(-√3/2) - (5π/12)] - [-(√3/2) - (π/12)].
S = (√3/2) - (π/12) + (√3/2) - (5π/12).
11. Объединим подобные слагаемые:
S = (√3 - π + π - 5π) / 12.
12. Упростим выражение:
S = (-4π + √3) / 12.
13. Окончательно, площадь фигуры, ограниченной линиями y=sinx, y=0.5, x=π/6 и x=(5π)/6, равна (-4π + √3) / 12.
Это подробное решение позволит школьнику лучше понять процесс вычисления площади фигуры, а также получить обоснованный ответ с шагами для собственной ясности.
=√3-π/3
1. Начнем с построения графика функции y=sinx на координатной плоскости. Функция sinx имеет период 2π, и значения варьируют от -1 до 1.
2. Отметим точки пересечения графика функции y=sinx с осью OY, т.е. где y=0. Мы видим, что график пересекает ось OY в точках (0,0), (π,0), (2π,0) и так далее.
3. Далее нарисуем график горизонтальной линии y=0.5. Заметим, что эта линия находится выше оси OX. Она пересекает ось OY в точке (0,0.5).
4. Посмотрим на график и точки пересечения считаемых линий. Видим, что график функции y=sinx пересекает горизонтальную линию y=0.5 в двух точках - вблизи (π/6, 0.5) и (5π/6, 0.5).
5. Таким образом, мы имеем ограниченную фигуру, которая ограничена линиями y=sinx, y=0.5, x=π/6 и x=(5π)/6. Запишем площадь этой фигуры как интеграл.
6. Поскольку площадь фигуры находится ниже или на горизонтальной линии y=0.5, мы можем найти разность между графиком функции y=sinx и этой горизонтальной линией.
7. Площадь фигуры S будет определена как интеграл от x=π/6 до x=(5π)/6 интервала расстояний между графиком функции y=sinx и горизонтальной линией y=0.5.
S = ∫[π/6, (5π)/6] (sinx - 0.5)dx.
8. Проинтегрируем это выражение по x.
S = [-cosx - 0.5x] для x=[π/6, (5π)/6].
9. Вычислим значение полученного выражения в пределах от x=π/6 до x=(5π)/6:
S = [-cos((5π)/6) - 0.5((5π)/6)] - [-cos(π/6) - 0.5(π/6)].
10. Продолжим вычисления:
S = [-(-√3/2) - (5π/12)] - [-(√3/2) - (π/12)].
S = (√3/2) - (π/12) + (√3/2) - (5π/12).
11. Объединим подобные слагаемые:
S = (√3 - π + π - 5π) / 12.
12. Упростим выражение:
S = (-4π + √3) / 12.
13. Окончательно, площадь фигуры, ограниченной линиями y=sinx, y=0.5, x=π/6 и x=(5π)/6, равна (-4π + √3) / 12.
Это подробное решение позволит школьнику лучше понять процесс вычисления площади фигуры, а также получить обоснованный ответ с шагами для собственной ясности.