Чтобы вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями y=x^2-2 и y=7, нам необходимо найти точки пересечения этих двух графиков, а затем найти площадь между ними.
Шаг 1: Найдем точки пересечения
Для этого приравняем уравнения наших линий друг к другу:
x^2-2 = 7
Шаг 2: Решим квадратное уравнение
Перепишем его в стандартной форме:
x^2 - 2 - 7 = 0
Упростим:
x^2 - 9 = 0
Теперь нам нужно найти корни этого уравнения. Можно воспользоваться квадратным корнем или факторизацией. Давайте воспользуемся факторизацией:
(x - 3)(x + 3) = 0
Таким образом, у нас два возможных значения x: x = 3 и x = -3.
Шаг 3: Найдем соответствующие значения y
Подставим эти значения x обратно в уравнения и найдем значения y:
При x = 3:
y = (3^2) - 2 = 7
При x = -3:
y = (-3^2) - 2 = 7
Таким образом, мы получаем две точки пересечения: (3, 7) и (-3, 7).
Шаг 4: Найдем площадь между кривыми
Теперь, чтобы найти площадь фигуры, мы должны вычислить интеграл от функции y=x^2-2 до y=7 в интервале от x=-3 до x=3.
Сначала найдем площадь под кривой y=x^2-2. Мы можем записать это как интеграл:
Таким образом, площадь под кривой y=x^2-2 равна 6.
Теперь найдем площадь под горизонтальной прямой y=7:
S2 = ∫(7)dx
Проинтегрируем это выражение:
S2 = 7x | от -3 до 3
Подставим значения и посчитаем:
S2 = (7*3) - (7*(-3))
= 21 - (-21)
= 42
Итак, площадь под горизонтальной прямой y=7 равна 42.
Шаг 5: Вычислим искомую площадь фигуры
Чтобы найти площадь фигуры, ограниченной линиями y=x^2-2 и y=7, мы должны найти разность между площадью под кривой y=x^2-2 и площадью под горизонтальной прямой y=7:
S = S1 - S2
= 6 - 42
= -36
Итак, площадь фигуры, ограниченной линиями y=x^2-2 и y=7, равна -36.
Надеюсь, что данное пошаговое решение было понятным для вас! Если будут еще вопросы, обращайтесь.
Чтобы вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями y=x^2-2 и y=7, нам необходимо найти точки пересечения этих двух графиков, а затем найти площадь между ними.
Шаг 1: Найдем точки пересечения
Для этого приравняем уравнения наших линий друг к другу:
x^2-2 = 7
Шаг 2: Решим квадратное уравнение
Перепишем его в стандартной форме:
x^2 - 2 - 7 = 0
Упростим:
x^2 - 9 = 0
Теперь нам нужно найти корни этого уравнения. Можно воспользоваться квадратным корнем или факторизацией. Давайте воспользуемся факторизацией:
(x - 3)(x + 3) = 0
Таким образом, у нас два возможных значения x: x = 3 и x = -3.
Шаг 3: Найдем соответствующие значения y
Подставим эти значения x обратно в уравнения и найдем значения y:
При x = 3:
y = (3^2) - 2 = 7
При x = -3:
y = (-3^2) - 2 = 7
Таким образом, мы получаем две точки пересечения: (3, 7) и (-3, 7).
Шаг 4: Найдем площадь между кривыми
Теперь, чтобы найти площадь фигуры, мы должны вычислить интеграл от функции y=x^2-2 до y=7 в интервале от x=-3 до x=3.
Сначала найдем площадь под кривой y=x^2-2. Мы можем записать это как интеграл:
S1 = ∫(x^2-2)dx
Проинтегрируем это выражение:
S1 = (x^3/3 - 2x) | от -3 до 3
Подставим значения и посчитаем:
S1 = ((3^3/3 - 2*3) - ((-3)^3/3 - 2*(-3)))
= ((27/3 - 6) - ((-27)/3 + 6))
= (9 - 6) - (-9 + 6)
= 3 + 3
= 6
Таким образом, площадь под кривой y=x^2-2 равна 6.
Теперь найдем площадь под горизонтальной прямой y=7:
S2 = ∫(7)dx
Проинтегрируем это выражение:
S2 = 7x | от -3 до 3
Подставим значения и посчитаем:
S2 = (7*3) - (7*(-3))
= 21 - (-21)
= 42
Итак, площадь под горизонтальной прямой y=7 равна 42.
Шаг 5: Вычислим искомую площадь фигуры
Чтобы найти площадь фигуры, ограниченной линиями y=x^2-2 и y=7, мы должны найти разность между площадью под кривой y=x^2-2 и площадью под горизонтальной прямой y=7:
S = S1 - S2
= 6 - 42
= -36
Итак, площадь фигуры, ограниченной линиями y=x^2-2 и y=7, равна -36.
Надеюсь, что данное пошаговое решение было понятным для вас! Если будут еще вопросы, обращайтесь.